Question

20．如图，水平面粗糙，光滑半圆形轨道的半径为R，弹簧自由端D与轨道最低点C之间的距离为4R，一质量为m可视为质点的小物块自圆轨道中点B由静止释放，压缩弹簧后被弹回到D点恰好静止．已知小物块与水平面间的动摩擦因数为0.2，重力加速度为g，弹簧始终处在弹性限度内．

（1）求弹簧的最大压缩量和最大弹性势能；
（2）现把D点右侧水平面打磨光滑，且已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比．现使小物块压缩弹簧，释放后能通过半圆形轨道最高点A，求压缩量至少是多少？

Answer 1

分析 （1）对小物块从B到压缩到最右端再返回到D点为研究过程，根据动能定理求出弹簧的最大压缩量．从压缩量最大位置到返回原长的过程中，弹性势能全部转化为摩擦产生的内能，根据能量守恒求出最大弹性势能．
（2）根据牛顿第二定律求出通过最高点A的最小速度，抓住弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，从弹簧压缩的位置到A点运用动能定理，求出压缩量的大小．

解答 解：（1）设弹簧的最大压缩量为x，最大弹性势能为E_P．
物块从B到返回D的整个过程，由动能定理得
 mgR-μmg（4R+2x）=0          ①
得  x=0.5R                  ②
返回过程弹性势能全部转化为摩擦产生的内能 E_P=μmgx           ③
得    E_P=0.1mgR        ④
故弹簧的最大压缩量为0.5R，最大弹性势能为0.1mgR．
（2）设压缩量至少为x′，相应的弹性势能为E_P′
  $\frac{{E}_{P}′}{{E}_{P}}$=$\frac{x{′}^{2}}{{x}^{2}}$            ⑤
物块恰能通过A点时，有  mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$     ⑥
根据能量守恒定律得：
E_P′-μmg•4R-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_A²     ⑦
联立⑤⑥⑦解得  x′=$\frac{\sqrt{33}}{2}$R          ⑧
故压缩量至少是$\frac{\sqrt{33}}{2}$R．
答：
（1）弹簧的最大压缩量为0.5R，最大弹性势能为0.1mgR；
（2）压缩量至少是$\frac{\sqrt{33}}{2}$R．

点评 本题综合运用了动能定理和能量守恒定律，解决本题的关键灵活选取研究的过程，选用适当的规律进行求解．