Question

8．如图所示．竖直放置的间距为L=1米的两平行光滑导轨，上端连接一个阻值为R=1Ω的电阻，在导轨的MN位置以下有垂直纸面向里的磁场，在MN处的磁感应强度为B₀=1T，在MN下方的磁场沿Y轴方向磁感应强度均匀减少，在MN下方1米处的磁感应强度刚好为零．现有一质量为1kg，电阻也是R=1Ω的金属棒，从距离MN为h=0.2米的上方紧贴导轨自由下落，然后进入磁场区域继续下落相同高度h的过程中，能使得电阻R上的电功率保持不变（不计一切摩擦）求（g=10m/s²）：
（1）电阻R上的电功率；
（2）从MN位置再下降h时，金属棒的速度v；
（3）从MN位置再下降h所用的时间t．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求解进入磁场时的速度，根据闭合电路的欧姆定律和法拉第电磁感应定律求解感应电流大小，再根据电功率的计算公式可得电阻R上的电功率；
（2）求出磁感应强度随y的变化关系式，根据感应电动势不变求解速度大小；
（3）设从MN位置再下降h过程中，根据动能定理求解克服安培力做的功，再根据W_A=Pt求解时间．

解答 解：（1）MN开始下落h=0.2米进入磁场时的速度大小为v₀，根据机械能守恒定律可得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
代入数据解得：v₀=2m/s；
此时产生的感应电动势为：
E=B₀Lv₀=1×1×2V=2V；
感应电流为：
I=$\frac{E}{2R}=\frac{2}{2}A=1A$，
根据电功率的计算公式可得电阻R上的电功率为：
P=I²R=1²×1W=1W；
（2）磁感应强度随y的变化关系为：
B=B₀-ky，
当y=1m时B=0，所以k=1，
所以有：B=1-y （T）
由于金属棒在磁场中下落h的过程中电阻R上的电功率保持不变，所以感应电动势不变，所以有：
B₀Lv₀=（1-h）Lv，
代入数据解得：v=2.5m/s；
（3）设从MN位置再下降h过程中，克服安培力做的功为W_A，根据动能定理可得：
mgh-W_A=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得：W_A=0.875J；
所以整个过程中产生的焦耳热为：
Q=W_A=0.875J，
根据焦耳定律可得：Q=2P•t，
代入数据解得：t=0.4375s≈0.44s．
答：（1）电阻R上的电功率为1W；
（2）从MN位置再下降h时，金属棒的速度为2.5m/s；
（3）从MN位置再下降h所用的时间为0.44s．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．