题目内容
【题目】如图,一轻弹簧原长为2R,其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处,另一端位于直轨道上B处,弹簧处于自然状态,直轨道与一半径为
的光滑圆弧轨道相切于C点,AC=7R,A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑,最低到达E点(未画出)。随后P沿轨道被弹回,最高到达F点,AF=4R。已知P与直轨道间的动摩擦因数
,重力加速度大小为g。(取
)
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小。
(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能。
(3)改变物块P的质量,将P推至E点,从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后,恰好通过G点。G点在C点左下方,与C点水平相距
、竖直相距R,求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
(1)对物体从C到B的过程分析，由动能定理列式可求得物体到达B点的速度；
(2)同(1)的方法求出物块返回B点的速度，然后对压缩的过程与弹簧伸长的过程应用功能关系即可求出；
(3)P离开D点后做平抛运动，将物块的运动分解即可求出物块在D点的速度，E到D的过程中重力、弹簧的弹力、斜面的阻力做功，由功能关系即可求出物块P的质量。
(1) C到B的过程中重力和斜面的阻力做功，所以：
其中：
代入数据解得：
(2) 物块返回B点后向上运动的过程中：
其中
联立解得：
物块P向下到达最低点又返回的过程中只有摩擦力做功，设最大压缩量为x，则：
整理得：x=R
物块向下压缩弹簧的过程设克服弹力做功为W，则：
mgxsin37°μmgcos37°xW＝0
又由于弹簧增加的弹性势能等于物块克服弹力做的功，即：EP=W
所以：EP=2.4mgR；
(3) 由几何关系可知图中D点相对于C点的高度：
h=r+rcos37°=1.8r=1.8×
所以D点相对于G点的高度：H=1.5R+R=2.5R
小球做平抛运动的时间：
G点到D点的水平距离：L=
由：L=vDt
联立解得：
E到D的过程中重力、弹簧的弹力、斜面的阻力做功，由功能关系得：
联立解得：
。
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