题目内容

【题目】直角坐标系 xoy 位于竖直平面内,在第一象限存 在磁感应强度 B=0.1 T、方向垂直于纸面向里、边界为矩形的匀强磁场。现有一束比荷为 108 C / kg 带正电的离子,从磁场中的A点(m0)沿与x轴正方向成 =60°角射入磁场,速度大小 v0≤1.0 ×10 6m / s,所有离子经磁场偏转后均垂直穿过y轴的正半轴,不计离子的重力和离子间的相互作用。

(1)求速度最大的离子在磁场中运动的轨道半径;

(2)求矩形有界磁场区域的最小面积;

(3)若在x>0区域都存在向里的磁场,离子仍从 A 点以 v0 = 10 6 m /s向各个方向均匀发射,求y轴上有离子穿出的区域长度和能打到y轴的离子占所有离子数的百分比。

【答案】(1) 0.1m(2) m2(3)50%

【解析】

(1)根据洛伦兹力提供向心力有

代入数据解得

R=0.1m

(2)如图1所示:


根据几何关系可知,速度最大的离子在磁场中运动的圆心在y轴上的B0m)点,离子从C点垂直穿过y轴,所有离子均垂直穿过y轴,即速度偏向角相等,AC连线应该是磁场的边界,满足题意的矩形如图1所示,根据几何关系可得矩形长为

宽为

R-Rcosθm

则面积为

(3)根据洛伦兹力提供向心力有

解得

临界1,根据图2可得


x轴成30°角射入的离子打在y轴上的B点,AB为直径,所以B点位y轴上有离子经过的最高点,根据几何知识可得

OB=m

临界2:根据图2可得,沿着x轴负方向射入磁场中的离子与y轴相切与C点,所以C点为y轴有离子打到的最低点,根据几何知识有

OC=m

所以y轴上B点至C点之间的区域有离子穿过,且长度为

根据图3可得,


沿着x轴正方向逆时针转到x轴负方向的离子均可打在y轴上,故打在y轴上的离子占所有离子数的50%

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