Question

13．为了研究过山车的原理，物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0m的粗糙的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个小物块以初速度v₀=4.0m/s，从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小物块的抛出点和A点的高度差；
（2）要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）从抛出点到A点做平抛运动，根据平抛运动的规律可解得落到A点时竖直方向的速度v_y与h的关系，根据竖直方向速度v_y与水平方向速度v_x的夹角之间的关系，可以解得h．
（2）现根据第一问中求得到达A的速度，从A到B运用动能定理列方程，从B到环的最高点运用机械能守恒列方程，再根据到达最高点的临界条件m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$≥mg，联立方程组求解．

解答 解：（1）设从抛出点到A点的高度差为h，根据平抛运动的规律有：
  v_y²=2gh
解得v_y=$\sqrt{2gh}$
且  $\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=tan37°
代入数据解得 h=0.45m  
（2）小物体到达A点时的速度：v_A=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
从A到B，由动能定理：
 mgLsin37°-μmgcos37°×L=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
小物体从B到环最高点P机械能守恒：
  $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$+2mgR
在最高点有：m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$≥mg
由④⑤⑥⑦解得 R≤0.66m．
答：
（1）小物块的抛出点和A点的高度差为0.45m；
（2）要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，则竖直圆弧轨道的半径应小于等于0.66m．

点评 此题要求熟练掌握平抛运动、动能定理、机械能守恒定律、圆周运动等规律，包含知识点多，关键要掌握圆周运动的临界条件．