Question

19．如图所示，在倾角为37度的斜面上有无限长的两条平行光滑金属导轨，导轨间距0.5m，导轨的上端接有阻值为R=0.8Ω的电阻和一电容为C=0.5F的电容器，磁感强度B=2T的匀强磁场，方向垂直于导轨平面向上，一质量为m=0.5kg，电阻r=0.2Ω的金属杆垂直导轨放置，开始时断开开关S，将杆由静止自由释放．（Sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）
（1）求金属杆下滑的最大速度？
（2）若杆由静止下滑到速度最大的这段时间内通过杆的电荷量为2C，则在这段时间内电阻R上产生的热量？
（3）若在由静止释放杆的同时闭合开关，经过一段时间杆达到最大速度，这一过程中通过R的电荷量为5.76C，则这段时间为多少？

Answer 1

分析 （1）当杆下滑到最大速度时杆处于平衡状态，根据导体棒切割磁感线时感应电动势的计算公式、闭合电路欧姆定律、安培力的计算公式和物体平衡条件即可求出最大速度；
（2）根据某一过程中通过杆的电荷量计算公式q=$\frac{△Φ}{R+r}$可求解出杆从静止下滑到最大速度的过程中沿斜面下滑的距离x，根据能量守恒定律可求解出电路中产生的焦耳热进而可以求解出电阻R上产生的焦耳热；
（3）开关闭合后杆的最大速度不变，即杆到达最大速度后感应电动势E不变，结合通过电阻R的电荷量计算公式、电容器电容的定义式可求得通过杆的电荷量，由动量定理可求得时间t

解答 解：（1）设杆匀速运动时的速度为v，取杆为研究对象，则有：
E=BLv…①
I=$\frac{E}{R+r}$…②
F_安=BIL…③
由平衡条件得：
mgsinθ-F_安=0…④
由①②③④带入数据解得：v=3m/s
（2）设这段时间内，沿导轨方向导体棒移动的距离为x，则有：
$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{BLx}{△t}$
${\overline{I}}_{1}=\frac{\overline{E}}{R+r}=\frac{BLx}{（R+r）△t}$
q₁=$\overline{I}$₁△t=$\frac{BLx}{R+r}$
所以：x=$\frac{{q}_{1}（R+r）}{BL}$=2m
设电路中产生的总热量为Q，由能量守恒定律得：
mgxsinθ=Q+$\frac{1}{2}$mv²
电阻R上产生的热量Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q
解得：Q=3.75J、Q_R=3J
（3）开关闭合后杆的最大速度不变，即杆到达最大速度后感应电动势E不变，设这一过程所需时间为t，平均电流为$\overline{I}$，流过杆的总电荷量为Q，由动量定理得：
mgtsinθ-B$\overline{I}$Lt=mv
Q=$\overline{I}$t
Q=q+UC
解得：mgtsinθ=BLQ+mv
代入数据得：t=2.82s
答：（1）求金属杆下滑的最大速度为3m/s
（2）电阻R上产生的热量为3J
（3）这段时间为2.82s

点评 （1）本题考查了法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、安培力的计算、能量守恒定律和动量定理
（2）根据能量守恒定律计算电路中产生的焦耳热是常用方法
（3）灵活引用动量定理是解决第三问的关键