Question

15．行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星运转周期是T，试证明：ρT²是一个对任何行星都一样的常量．

Answer 1

分析 根据行星对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力，由此计算出行星的质量，行星可看做球体，可知行星的体积，根据密度的定义式，计算行星的密度即可．

解答 证明：设行星的质量为M半径为R，卫星的质量为m，
卫星受到行星的万有引力等于其运转的向心力有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
解得M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$
行星可看成球体，其体积为V=$\frac{4}{3}$πR³
根据密度的定义式ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{{GT}^{2}}$
所以ρT²=$\frac{3π}{G}$=常量．

点评 本题掌握一个重要的关系：行星对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力，同时要注意此卫星靠近行星表面飞行，其轨道半径就近似等于行星的半径．