题目内容
6.发射地球同步卫星时,先将卫星发射至距地面高度为h1的近地轨道上,在卫星经过A点时点火,实施变轨,进入远地点为B的椭圆轨道上,然后在B点再次点火,将卫星送入同步轨道,如图所示,已知同步卫星的运动周期为T,地球的半径为R,地球表面重力加速度为g.(1)求出卫星在近地点A的加速度大小a;
(2)求出远地点B距地面的高度h2;
(3)列出计算卫星在椭圆轨道上的周期T'的表达式.
分析 (1)根据牛顿第二定律以及万有引力等于重力求出卫星在近地点A的加速度大小.
(2)根据万有引力提供向心力求出远地点B距地面的高度.
(3)根据开普勒第三定律求出卫星在椭圆轨道上的周期T'的表达式.
解答 解:(1)设地球的质量为M,在地球表面,物体的重力等于万有引力,有:$mg=\frac{GMm}{R^2}$,
卫星在A点时,由牛顿第二定律得:$ma=\frac{GMm}{{{{(R+{h_1})}^2}}}$,
由上述各式得:$a=\frac{R^2}{{{{(R+{h_1})}^2}}}g$.
(2)B点位于同步卫星轨道上,卫星所受万有引力提供向心力,有:$\frac{GMm}{{{{(R+{h_2})}^2}}}=\frac{{4{π^2}m(R+{h_2})}}{T^2}$,
得:$(R+{h_2})=\root{3}{{\frac{{GM{T^2}}}{{4{π^2}}}}}=\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$,
解得:h2=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$.
(3)由开普勒第三定律,得椭圆轨道上的周期表达式为:$\frac{{(R+{h_2}{)^3}}}{T^2}=\frac{{{{({\frac{{2R+{h_1}+{h_2}}}{2}})}^3}}}{{{T^'}^2}}$.
解得:T′=$\frac{(2R+{h}_{1}+{h}_{2})T}{2(R+{h}_{2})}\sqrt{\frac{2R+{h}_{1}+{h}_{2}}{2(R+{h}_{2})}}$.
答:(1)卫星在近地点A的加速度大小为$\frac{{R}^{2}}{(R+{h}_{1})^{2}}g$;
(2)远地点B距地面的高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$;
(3)卫星在椭圆轨道上的周期T'的表达式为$\frac{(2R+{h}_{1}+{h}_{2})T}{2(R+{h}_{2})}\sqrt{\frac{2R+{h}_{1}+{h}_{2}}{2(R+{h}_{2})}}$.
点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论:1、万有引力提供向心力,2、万有引力等于重力,并能灵活运用.
A. | 5 s内拉力对物块做功为零 | |
B. | 4 s末物块所受合力大小为4.0 N | |
C. | 物块与木板之间的动摩擦因数为0.4 | |
D. | 6~9 s内物块的加速度大小为2.0 m/s2 |
A. | 0~5 s直升机上升过程中加速度不变 | |
B. | 5~15 s直升机停在空中不动 | |
C. | t=20 s时直升机的速度、加速度都为零 | |
D. | 20~25 s直升机竖直向下运动 |
A. | EA<EB;ϕA<ϕB | B. | EA<EB;ϕA>ϕB | C. | EA>EB;ϕA<ϕB | D. | EA>EB;ϕA>ϕB |