Question

6．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至距地面高度为h₁的近地轨道上，在卫星经过A点时点火，实施变轨，进入远地点为B的椭圆轨道上，然后在B点再次点火，将卫星送入同步轨道，如图所示，已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g．
（1）求出卫星在近地点A的加速度大小a；
（2）求出远地点B距地面的高度h₂；
（3）列出计算卫星在椭圆轨道上的周期T'的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律以及万有引力等于重力求出卫星在近地点A的加速度大小．
（2）根据万有引力提供向心力求出远地点B距地面的高度．
（3）根据开普勒第三定律求出卫星在椭圆轨道上的周期T'的表达式．

解答 解：（1）设地球的质量为M，在地球表面，物体的重力等于万有引力，有：$mg=\frac{GMm}{R^2}$，
卫星在A点时，由牛顿第二定律得：$ma=\frac{GMm}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}$，
由上述各式得：$a=\frac{R^2}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}g$．
（2）B点位于同步卫星轨道上，卫星所受万有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{{{{（R+{h_2}）}^2}}}=\frac{{4{π^2}m（R+{h_2}）}}{T^2}$，
得：$（R+{h_2}）=\root{3}{{\frac{{GM{T^2}}}{{4{π^2}}}}}=\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$，
解得：h₂=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
（3）由开普勒第三定律，得椭圆轨道上的周期表达式为：$\frac{{（R+{h_2}{）^3}}}{T^2}=\frac{{{{（{\frac{{2R+{h_1}+{h_2}}}{2}}）}^3}}}{{{T^'}^2}}$．
解得：T′=$\frac{（2R+{h}_{1}+{h}_{2}）T}{2（R+{h}_{2}）}\sqrt{\frac{2R+{h}_{1}+{h}_{2}}{2（R+{h}_{2}）}}$．
答：（1）卫星在近地点A的加速度大小为$\frac{{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}g$；
（2）远地点B距地面的高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（3）卫星在椭圆轨道上的周期T'的表达式为$\frac{（2R+{h}_{1}+{h}_{2}）T}{2（R+{h}_{2}）}\sqrt{\frac{2R+{h}_{1}+{h}_{2}}{2（R+{h}_{2}）}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．