Question

5．如图为固定在水平面上的半径为r=1m的光滑金属圆环导轨，沿直径AE有等间距的C、O、D三点，A、E分别接有短电阻丝（图中用粗线表示），R₁=R₂=8Ω，导轨其它部分电阻不计．磁感应强度B=1T的匀强磁场方向垂直导轨平面，一长为L=2.2m质量为m=1kg的金属杆在外力F的作用下在A、E间做周期为T=$\frac{π}{2}$（s）的简谐振动，不计杆的电阻．已知做匀速圆周运动的质点在直径上的投影运动是简谐振动．试求：
（1）在金属杆由A运动到E的半个周期内流过金属杆的电量q；
（2）金属杆向右过O点时流过金属杆的电流大小和方向，电阻R₁的电功率P₁；
（3）金属杆向右过C点时金属杆受到的外力F；
（4）在金属杆由A运动到E的半个周期中金属杆受到的外力F随时间变化的规律．

Answer 1

分析 （1）金属杆由A运动到E的半个周期内流过金属杆的电量q=$\overline{I}△t$=$\frac{△Φ}{R}$，带入数据即可求出
（2）金属杆向右过O点时，根据E=BIL、$I=\frac{E}{R}$、P=I²R、可计算感应电动势，感应电流和电功率
（3）金属杆向右过C点时，∠AON=60°（N为虚线与圆环导轨的交叉点），则根据“做匀速圆周运动的质点在直径上的投影运动是简谐振动”计算出质点在水平方向的分速度和分加速度，根据几何知识计算出金属杆切割磁感线的有效长度和速度，结合安培力的定义式和牛顿第二定律，可求出金属杆受到的外力F
（4）金属杆向右过C点时，∠AON=θ（N为虚线与圆环导轨的交叉点），则根据“做匀速圆周运动的质点在直径上的投影运动是简谐振动”计算出质点在水平方向的分速度和分加速度，根据几何知识计算出金属杆切割磁感线的有效长度和速度，结合安培力的定义式和牛顿第二定律，可推导出金属杆受到的外力F随时间变化的规律

解答 解：设R₁、R₂的并联等效电阻为R，则有：R=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=4Ω
（1）设金属杆由A运动到E的半个周期内流过金属杆的电量为：q=$\overline{I}△t$=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{Bπ{r}^{2}}{R}$=$\frac{π}{4}$C
（2）由题意可知金属杆过O点时速度为：v_o=ωr=$\frac{2π}{T}r$=4m/s，
此时通过金属杆的电流大小为：I_o=$\frac{2Br{v}_{0}}{R}$=2A
根据右手定则可知此时感应电流方向向上
电阻R₁的电功率为：P₁=$（\frac{{I}_{O}}{2}）^{2}$R₁=8W
（3）如右图所示，做匀速圆周运动的质点在直径AE上的投影运动的速度为：v=v₀sin60°=$2\sqrt{3}$m/s
有效切割长度为：L=2rsin60°=$\sqrt{3}$m
流过金属杆的电流大小为：I_C=$\frac{BLv}{R}$=1.5A
杆与圆环的交点做匀速圆周运动，其向心加速度的水平分量为金属杆做简谐运动的加速度，因此有：
a=rω²cos60°=8m/s²
根据牛顿第二定律可得：F-BI_CL=ma，
解得：F=（8+1.5$\sqrt{3}$）N
（4）如上图所示，设虚线与圆环导轨的交叉点为N，∠AON=θ，由题意可知θ=ωt，由图可得金属杆切割磁感线产生的电动势为：E=B（2rsinωt）（ωrsinωt）=2ωBr²sin²ωt
流过金属杆的电流为：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{2B{r}^{2}ωsi{n}^{2}ωt}{R}$，
根据牛顿第二定律可得：F-F_A=ma，
即为：F=ma+F_A=mω²rcosωt+BI（2rsinωt）=mω²rcosωt+$\frac{4ω{B}^{2}{r}^{3}}{R}si{n}^{3}ωt$=16cos4t+4sin³4t
答：
（1）在金属杆由A运动到E的半个周期内流过金属杆的电量q为$\frac{π}{4}$C
（2）金属杆向右过O点时流过金属杆的电流大小和方向，电阻R₁的电功率P₁为8W
（3）金属杆向右过C点时金属杆受到的外力F为（8+1.5$\sqrt{3}$）N
（4）在金属杆由A运动到E的半个周期中金属杆受到的外力F随时间变化的规律为F=cos4t+4sin³4t

点评 （1）本题考查了安培力、电功率的计算和牛顿第二定律及速度、加速度的分解
（2）“做匀速圆周运动的质点在直径上的投影运动是简谐振动”是根据质点的速度计算金属杆的速度、加速度的关键