Question

19．如图所示，与水平面成37°倾斜轨道AB，其沿直线在C点与半径R=1m的半圆轨道CD相切，全部轨道为绝缘材料制成且放在竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直约面向里的匀强磁场，一个质量为m=0.4kg的带电小球从A点无初速开始沿斜面下滑，至B点时速度为v_B=$\frac{100}{7}$m/s，接着沿直线BC（此处无轨道）运动到达C处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且刚好到达D点，从D点飞出时磁场立即消失，不计空气阻力，g=10m/s²，cos37°=0.8，求：
（1）小球带何种电荷．
（2）小球离开D点后的运动轨迹与直线AC的交点距C点的距离．
（3）小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 带电粒子在只有电场的倾斜轨道上做匀加速运动后，进入电场与磁场混合的场中做匀速直线运动，重力、洛伦兹力与电场力处于平衡状态，接着沿半圆轨道运动刚好能达到D点，最后从D点做类平抛运动，此时所受到的合力正好与速度相互垂直．因此由电场力与电场强度方向可确定小球所带电性，同时利用平抛运动规律可得小球垂直与速度方向上发生的位移，从而求出运动的时间，最终确定沿速度方向的运动的位移．小球在半圆轨道上由运动定理可得克服摩擦力做功多少．

解答 解：（1）小球受到重力、电场力与洛伦兹力作用，如果小球带负电，电场力水平向右，洛伦兹力斜向左下方，重力竖直向下，小球受到的合力不可能为零，也不可能与速度方向在同一直线上，小球不可能做直线运动，则小球带正电．如图：
（2）小球在BC间做匀速直线运动，则有C点的速度与B点的速度相等，即v_c=$\frac{100}{7}$m/s 
在BC段受力如图所示，设重力与电场力合力为F，
则有F=qvB，
又F=$\frac{mg}{cos37°}$=5N
解得：$Bq=\frac{F}{v}$=$\frac{7}{20}$
在D处由牛顿第二定律可得：$Bq{v}_{D}+F=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
由以上两式可得：v_D=4m/s或${v}_{D}=-\frac{25}{8}m/s$（舍去）
小球离开D点后做类平抛运动，其加速度为：由$2R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：$t=\sqrt{\frac{4R}{a}}=\sqrt{\frac{4mR}{F}}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$S
s=v_Dt=2.26m
（3）设CD段克服摩擦力做功W_f，
由动能定理可得：$-{W}_{f}-2FR=\frac{1}{2}m（{v}_{D}^{2}-{v}_{C}^{2}）$
解得：W_f=27.6J．
答：（1）小球正电荷．
（2）小球离开D点后的运动轨迹与直线AC的交点距C点的距离为2.26m．
（3）小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功为27.6J．

点评 小球从D点飞出后，正好受到重力与电场力且这两个力的合力与速度垂直，所以刚好做类平抛运动．因此可以将倾斜轨道等效看成水平面，相当于小球做平抛运动，从而可以运用平抛运动规律来处理．