Question

7．如图，可视为质点的小物块质量m=1kg，长木板M=3kg，初始m位于M最左端，M和m一起以v₀=4m/s向右运动，光滑平面ab间距足够长，M、m间动摩擦因数μ=0.4，M与b处固定障碍物碰撞时为弹性碰撞，作用时间极短，M与a处固定障碍物碰撞后粘在一起．在a的上方有一个光滑的半圆轨道，半径R=1.6m．g=10m/s²，求：
（1）若M与b碰撞后，M、m达到共同速度，求共同速度的大小；
（2）若木板长度L=8m，求m与b点的最小距离；
（3）若木板长度L=8m，ab间距离为13m，M与a碰撞瞬间，给m一个瞬时冲量，m的速度变为v_m，之后m能经过半圆最高点后落回在长木板上，求V_m的范围．

Answer 1

分析 （1）当M与b碰撞后，m和M组成的系统动量守恒，从而求得共同速度大小；
（2）m和M在相互作用的摩擦力作用下分别做匀减速运动和匀加速运动，根据运动学规律求得m与b的最小距离；
（3）根据功能关系求得物体m离开半圆轨道时的速度，再根据平抛知识求得物体做平抛的射程，根据落在木板上的射程要求求得V_m的范围．

解答 解：（1）M与b弹性碰撞后速度大小不变，方向反向，故对M、m系统，以水平向左为正方向，由动量守恒定律得：
Mv₀-mv₀=（M+m）v
M、m的共同速度为：v=$\frac{M-m}{M+m}{v}_{0}=\frac{3-1}{3+1}×4m/s=2m/s$；
（2）M与b碰后，m向右减速为0时，与b点距离最小，对m有：$a=\frac{μmg}{m}=μg=0.4×10m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$
m向右减速过程的位移：${x}_{m}=\frac{0-{v}_{0}^{2}}{-2a}=\frac{0-{4}^{2}}{-2×4}m=2m$
m与b的最小距离为：x_mb=L-x_m=8-2m=6m
（3）M与b碰后，假设M与a碰前M、m能达到共同速度，对M、m系统有：
$μmg{s}_{相对}=\frac{1}{2}（M+m）{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
对M，此过程中的加速度，有：
${a}_{M}=\frac{μmg}{M}$
此过程位移为：
${s}_{M}=\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{-2{a}_{M}}$
代入数据解得：
s_相对=6m＜8m
s_M=4.5m＜13m
所以假设成立
M与m相碰粘在一起，依题意有：
$-μmg{s}_{相对}-2mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
运动至半圆最高点有：
$m\frac{{v}^{2}}{R}≥mg$
小球从最高点开始做平抛运动，落在木板上，满足：
$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
vt≤L
解得：8$\sqrt{2}m/s≤{v}_{m}≤2\sqrt{53}m/s$
答：（1）若M与b碰撞后，M、m达到共同速度，共同速度的大小为2m/s；
（2）若木板长度L=8m，m与b点的最小距离为6m；
（3）若木板长度L=8m，ab间距离为13m，M与a碰撞瞬间，给m一个瞬时冲量，m的速度变为v_m，之后m能经过半圆最高点后落回在长木板上，V_m的范围为
8$\sqrt{2}m/s≤{v}_{m}≤2\sqrt{53}m/s$．

点评 本题考查了动量守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律和运动学公式的综合，综合性强，对学生的能力要求较高，对于第三问，关键抓住临界状态，选择合适的规律进行求解．