Question

5．据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行，若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1：2，密度之比为5：7，设火星与地球表面重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是（　　）

• A． g′：g=4：1
• B． g′：g=10：7
• C． v′：v=$\sqrt{\frac{5}{28}}$
• D． v′：v=$\sqrt{\frac{5}{14}}$

Answer 1

分析 在星球表面的物体受到的重力等于万有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，根据质量与密度的关系，代入化简可得出重力加速度与密度和半径的关系，进一步计算重力加速度之比．
根据根据牛顿第二定律有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$和M=ρ•$\frac{4}{3}π{R}^{3}$化简解出速度的表达式，代入数据化简可得速度之比．

解答 解：AB、在星球表面的物体受到的重力等于万有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
所以$g=\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{G•ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{R}^{2}}=\frac{4}{3}πGρR$
所以$\frac{g′}{g}=\frac{ρ′}{ρ}•\frac{R′}{R}=\frac{5}{7}×\frac{1}{2}=\frac{5}{14}$，故AB错误．
CD、探测器绕地球表面运行和绕月球表面运行都是由万有引力充当向心力，
根据牛顿第二定律有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$ ①，M为中心体质量，R为中心体半径．
M=ρ•$\frac{4}{3}π{R}^{3}$  ②
由①②得：v=$\sqrt{\frac{4πGρ{R}^{2}}{3}}$
已知地球和火星的半径之比为1：2，密度之比为5：7，
所以探测器绕地球表面运行和绕月球表面运行线速度大小之比为：$\frac{v′}{v}=\sqrt{（{\frac{R′}{R}）}^{2}\frac{ρ′}{ρ}}=\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{5}{7}}=\sqrt{\frac{5}{28}}$
故C正确、D错误．
故选：C．

点评 解决本题的关键掌重力等于万有引力这个关系，求一个物理量，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较求解．