Question

6．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管道竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内．
求：（1）若A球刚好能通过最高点C，则A球在最高点C的速度为多大？
（2）A通过最高点C时，对管壁上部的压力为5mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.5mg，求A、B两球落地点间的距离．

Answer 1

分析 （1）在最高点根据牛顿第二定律求得在C点的速度
（2）对两个球分别受力分析，根据合力提供向心力，求出速度，此后球做平抛运动，正交分解后，根据运动学公式列式求解即可．

解答 解：（1）A刚好能通过C点，则根据牛顿第二定律可知：mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$
（2）两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．
对A球：5mg+mg=m$\frac{{mv}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=$\sqrt{6gR}$
对B球：mg-0.5mg=m$\frac{{mv}_{B}^{2}}{R}$
解得：v_B=$\sqrt{gR}$
做平抛运动下落的时间为：t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$
由平抛运动规律可得落地时它们的水平位移为：
s_A=v_At=$2\sqrt{6}R$   
s_B=v_Bt=2R   
解得：s_A-s_B=（$2\sqrt{6}-2$）R           
答：（1）若A球刚好能通过最高点C，则A球在最高点C的速度为$\sqrt{gR}$
（2）A、B两球落地点间的距离为（$2\sqrt{6}-2$）R．

点评 本题关键是对小球在最高点处时受力分析，然后根据向心力公式和牛顿第二定律求出平抛的初速度，最后根据平抛运动的分位移公式列式求解．