Question

16．如图所示，线圈焊接车间的水平传送带不停地传送边长为L，质量为m，电阻为R的正方形线圈，传送带始终以恒定速度v匀速运动．在传送带的左端将线圈无初速地放到传送带上，经过一段时间，线圈达到与传送带相同的速度，已知当一个线圈刚好开始匀速运动时，下一个线圈恰好放到传送带上，线圈匀速运动时，相邻两个线圈的间隔为L，线圈均以速度v通过一磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场，匀强磁场的宽度为3L．求：
（1）每个线圈通过磁场区域产生的热量Q；
（2）电动机对传送带做功的功率P？
（3）要实现上述传送过程，磁感应强度B的大小应满足什么条件？（用题中的m、R、L、v表示）

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律列式求解线框的加速度；根据运动学公式列式求解线框的相对位移；然后联立方程组求解；
（2）某一导线框穿过磁场过程，皮带上有多个线圈，分析机械能增加量、内能增加量，然后求和；
（3）为保证线圈均以速度V通过磁场，则受力平衡，即安培力小于等于摩擦力，线框在进入和离开磁场时有感应电流，根据切割公式、欧姆定律、牛顿第二定律求解即可．

解答 解：（1）每个线圈穿过磁场过程中有电流的运动距离为2L，
根据位移时间关系可得：t_穿=$\frac{2L}{v}$
根据法拉第电磁感应定律可得：E=BLv
根据电功率的计算公式可得：P=$\frac{{E}^{2}}{R}$
产生热量Q=P•t_穿=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$•$\frac{2L}{v}$=$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$；
（2）每个线圈从投放到相对传送带静止，运动的距离是一样的．设投放时间间隔为T，则v-t图如图所示．

可得2L=v•T
根据速度时间关系可得：v=a•T
传送带做加速运动，根据牛顿第二定律可得：f=μmg=ma
在T时间内，传送带位移为s_传=v•T，线圈位移为s_线=$\frac{v}{2}$•T
摩擦产生的热为Q_摩擦=μmg•s_相对=μmg•$\frac{v}{2}$•T
线圈中焦耳热Q_焦耳=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$•T
有P•T=Q_摩擦+$\frac{1}{2}$mv²+Q_焦耳
代入以上各式，得P=$\frac{m{v}^{3}}{2L}$+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$
（3）为保持线圈通过磁场过程中不产生滑动，安培力必须不超过滑动摩擦力．
应有BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$≤μmg
联立解得：B≤$\sqrt{\frac{mvR}{2{L}^{3}}}$．
答：（1）每个线圈通过磁场区域产生的热量为$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$；
（2）电动机对传送带做功的功率为$\frac{m{v}^{3}}{2L}$+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$；
（3）要实现上述传送过程，磁感应强度B的大小应满足B≤$\sqrt{\frac{mvR}{2{L}^{3}}}$．

点评 本题关键是明确传送带的运动规律，然后分过程按照牛顿第二定律、运动学公式、切割公式、欧姆定律、焦耳定律列式求解．