Question

5．倾角为37°的光滑斜面上固定一个槽，劲度系数k=20N/m、原长l₀=0.6m的轻弹簧下端与轻杆相连，开始时杆在槽外的长度l=3.0m，且杆可在槽内移动，杆与槽间的滑动摩擦力大小F_f=8N，杆与槽之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．质量m=1kg的小车从距弹簧上端L=1.2m处由静止释放沿斜面向下运动．已知轻杆开始运动时，小车的速度v=4m/s，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，试求：
（1）轻杆刚要滑动时弹簧的形变量x₀；
（2）轻杆刚要滑动时弹簧增加的弹性势能Ep；
（3）试通过计算判断小车是否与槽发生碰撞．

Answer 1

分析 （1）当弹簧和杆整体受到的力等于静摩擦力的时候，轻杆开始滑动，由力的平衡轻杆刚要滑动时弹簧的形变量；
（2）由功能关系可求轻杆刚要滑动时弹簧增加的弹性势能；
（3）对小车在碰撞弹簧前后受力分析，根据牛顿第二定律和推论公式联立求解．

解答 解：（1）当弹簧和杆整体受到的力等于静摩擦力的时候，轻杆开始滑动，
由力的平衡可得：kx₀=F_f
即：20×x₀=8
解得：x₀=0.4m
（2）由功能关系可得：mg（L+x₀）sinθ=E_P+$\frac{1}{2}$mv²
1×10×（3+0.4）sin37°=E_P+$\frac{1}{2}$×1×4²
解得：E_P=1.6J
（3）由牛顿第二定律可得：F_f-mgsinθ=ma
假设小车与槽相碰，则-2a（l+l₀-x₀）=v′²-v²
代入数据联立解得：v′=$\sqrt{3.2}$m/s，即小车与槽相碰．
答：（1）轻杆刚要滑动时弹簧的形变量为0.4m；
（2）轻杆刚要滑动时弹簧增加的弹性势能为1.6J；
（3）小车要与槽发生碰撞．

点评 本题的关键是分清小车的运动过程，特别是接触弹簧后的情况，弹力突变导致静摩擦力也跟着变，找出最后运动状态后利用能的观点即可求解．