Question

（2009?汕头一模）如图所示，光滑水平面上静止放置着一辆平板车A，车板总长为L．车上有两个小滑块B和C（都可视为质点），B与车板之间的动摩擦因数为μ，而C与车板之间的动摩擦因数为2μ．开始时B、C分别从车板的左、右两端同时以大小相同的初速度相向滑行．经过一段时间，C、A的速度达到相等，此时C和B恰好发生碰撞．已知C和B发生碰撞时两者的速度立刻互换，A、B、C三者的质量都相等，重力加速度为g．设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力．
（1）求C和B开始滑行时的初速度v₀的大小．
（2）已知滑块C最后没有脱离车板，求滑块C最后与车达到相对静止时处于车板上的位置．

Answer 1

分析：（1）分别对A、B、C受力分析，根据牛顿第二定律求解出加速度；根据位移时间关系公式和速度时间关系公式分别列式，最后联立求解即可；
（2）碰撞后B和A的速度相等，可以证明其保持相对静止；根据动量守恒定律得到最后速度，然后根据动能定理分别对C和AB整体列式求解，得到相对位移．

解答：解：（1）设A、B、C三者的质量都为m，从开始到C、A的速度达到相等这一过程所需时间为t．
对C，由牛顿定律和运动学规律有f_C=2μmg=ma_C
v_C=v₀-a_Ct
SC=

1

2

(v0+vC)t      ①
对A，由牛顿定律和运动学规律有f_C-f_B=2μmg-μmg=ma_A
v_A=a_At=v_C
SA=

1

2

vAt            ②
对B，由牛顿定律和运动学规律有f_B=μmg=ma_B
v_B=v₀-a_Bt
SB=

1

2

(v0+vB)t       ③
C和B恰好发生碰撞，有S_C+S_B=L
由以上各式解得初速度v0=

2μgL

 ④
A、B、C三者的位移和末速度分别为SA=

1

9

L（向左），SB=

5

9

L（向右），SC=

4

9

L（向左）  ⑤
vA=vC=

1

3

v0（向左），vB=

2

3

v0（向右）               ⑥
（2）C和B发生碰撞时两者的速度立刻互换，则碰撞后C和B的速度各为v′C=

2

3

v0（向右），v′B=

1

3

v0（向左）
碰撞后B和A的速度相等，设B和A保持相对静止一起运动，此时对B和A整体有f_C=2μmg=2ma
隔离B，则B受到的摩擦力为f'_B=ma
可得f'_B=μmg，说明B和A保持相对静止一起运动．          ⑦
设C最后停在车板上时，共同的速度为v_t，由动量守恒定律可得mv'_C-2mv'_B=3mv_t⑧
可得v_t=0
这一过程，对C，由动能定理有-2μmgS′C=0-

1

2

mv

′

2 C

⑨
对B和A整体，由动能定理有-2μmgS′A=0-

1

2

2mv

′

2 B

⑩
解得C和A的位移分别是S′C=

2

9

L（向右），S′A=

1

9

L（向左）                    （11）
这样，C先相对于车板向左移动S1=SC-SA=

1

3

L，
然后又相对于车板向右移动S2=S′C+S′A=

1

3

L，
恰好回到原来的位置．
即滑块C最后停在车板右端． 
答：（1）物体C和B开始滑行时的初速度v₀的大小均为

2μgL

．
（2）滑块C最后与车达到相对静止时处于车板上的最右端．

点评：本题关键分析清楚三个物体的运动规律，根据牛顿第二定律求解出各段的加速度，然后结合运动学公式、动量守恒定律和空间关系列式并联立求解，较难．