Question

7．如图为半径为R=$\sqrt{3}$ m的固定半圆形玻璃砖的横截面，O点为圆心，OO′为直径MN的垂线．足够大的光屏PQ紧靠在玻璃砖的右侧且与MN垂直．某同学把一束包含有对该玻璃砖的折射率从n₁=$\sqrt{2}$到n₂=$\sqrt{3}$的复色光，沿半径方向与OO′成θ=30°角射向O点，他发现光屏上出现了彩色光带．
①求彩色光带的宽度；
②当复色光入射角逐渐增大时，光屏上的彩色光带将变成一个光点，求θ角至少为多少？

Answer 1

分析 ①根据折射定律求出折射角，由几何关系求解彩色光带的宽度；
②当所有光线均发生全反射时，光屏上的光带消失，反射光束将在PN上形成一个光点．由于n₁＜n₂，玻璃对其折射率为n₂的色光先发生全反射，由临界角公式求解为使光屏上的彩带消失时θ角的最小值．

解答 解：①设折射率为n₁和n₂的光线经玻璃砖后折射角分别为β₁和β₂．由折射定律得：
n₁=$\frac{sin{β}_{1}}{sinθ}$，
n₂=$\frac{sin{β}_{2}}{sinθ}$，
代入数据解得：β₁=45°，β₂=60°，
故彩色光带的宽度为：d=Rtan（90°-β₁）-tan（90°-β₂）=（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R=0.73m
②当所有光线均发生全反射时，光屏上的光带消失，反射光束将在PN上形成一个光点．即此时折射率为n₁的单色光在玻璃表面上恰好发生全反射，故有：
sinC=$\frac{1}{{n}_{1}}$=$\sqrt{2}$
即入射角为：θ=C=45°
答：①彩色光带的宽度为0.73m；
②当复色光入射角逐渐增大时，光屏上的彩色光带将变成一个光点，θ角至少为45°．

点评 对于涉及全反射的问题，要紧扣全反射产生的条件：一是光从光密介质射入光疏介质；二是入射角大于临界角．结合几何知识研究这类问题．