Question

16．如图所示，轻弹簧的一端固定在倾角为30°的光滑直轨道AC的底端A处，另一端连接一质量为m的钢板，钢板静止时，轻弹簧的压缩量为x₀．一质量也为m的小滑块从轨道上距钢板为3x₀处的C点自由释放，打在钢板上后立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动，恰好能到达O点．已知重力加速度大小为g，小滑块与钢板均可视为质点，小滑块与钢板的碰撞时间极短可以忽略．
（1）求轻弹簧的劲度系数及小滑块与钢板碰完后速度最大时离O点的距离；
（2）求小滑块与钢板刚碰完时的速度；
（3）若小滑块的质量为2m，仍从C点处自由释放，则小滑块沿轨道运动到最高点时离O点的距离．

Answer 1

分析 （1）研究钢板静止时的状态，由平衡条件和胡克定律结合求弹簧的劲度系数．钢板碰完后速度最大时合力为零，由平衡条件和胡克定律求速度最大位置到O点的距离．
（2）先研究碰撞前小滑块下滑的过程，由动能定理求得碰撞前小滑块的速度．再研究碰撞过程，由动量守恒定律求小滑块与钢板刚碰完时的速度．
（3）先研究质量为m的滑块从碰撞完到O点的过程，由系统的机械能守恒列式．再研究小滑块的质量为2m时的情况，由动量守恒定律和机械能守恒定律求小滑块沿轨道运动到最高点时离O点的距离．

解答 解：（1）钢板静止时，有 mgsin30°=kx₀．
得 k=$\frac{mg}{2{x}_{0}}$
设小滑块与钢板碰完后速度最大时离O点的距离为x₁．此时小滑块和钢板的合力为零，则
   2mgsin30°=kx₁．
解得 x₁=2x₀．
（2）设滑块与钢板碰撞前的速度为v₀．碰前，由动能定理得：
  mg•3x₀sin30°=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{3g{x}_{0}}$
设碰撞后小滑块与钢板一起开始向下运动的速度为v，对于碰撞过程，取沿斜面向下方向为正方向，由动量守恒定律得：
   mv₀=2mv₁．
解得：v₁=$\frac{1}{2}\sqrt{3g{x}_{0}}$
（3）设刚碰撞完弹簧的弹性势能为E_p．则从碰撞完到O点的过程中，由机械能守恒定律得：
  E_p+$\frac{1}{2}（2m）{v}_{1}^{2}$=2mgx₀sin30°
小滑块的质量换成2m后，与钢板碰撞时的速度大小仍为v₀．设碰撞后瞬间的速度大小v₂．返回O点时的速度为v₃．
碰撞过程由动量守恒定律得：
  2mv₀=3mv₂．
根据机械能守恒定律得：
   E_p+$\frac{1}{2}（3m）{v}_{2}^{2}$=3mgx₀sin30°+$\frac{1}{2}（3m）{v}_{3}^{2}$
设小滑块从O点继续上滑的距离为x，由动能定理得：
-2mgxsin30°=0-$\frac{1}{2}（2m）{v}_{3}^{2}$
解得：x=$\frac{{x}_{0}}{2}$
答：
（1）轻弹簧的劲度系数是$\frac{mg}{2{x}_{0}}$，小滑块与钢板碰完后速度最大时离O点的距离是2x₀．
（2）小滑块与钢板刚碰完时的速度是$\frac{1}{2}\sqrt{3g{x}_{0}}$；
（3）若小滑块的质量为2m，仍从C点处自由释放，则小滑块沿轨道运动到最高点时离O点的距离是$\frac{{x}_{0}}{2}$．

点评 本题的关键要分析清楚物体的运动过程，把握每个过程的物理规律，如碰撞的基本规律：动量守恒定律．物体压缩弹簧的过程，系统遵守机械能守恒定律，并要找出状态之间的联系．