Question

7．如图所示，有金属导轨MNC和PQD，NC与QD平行、MN与PQ平行，且间距均为L，PQ与水平面夹角为θ，QD水平，N、Q连线与MN、NC均垂直．均匀金属棒ab和ef质量均为m，电阻均为R，ef棒垂直放在倾斜导轨上，由导轨上的小立柱1和2阻挡而静止，且处在垂直倾斜导轨平面向下、磁感应强度大小为B₀的匀强磁场中．以Q为原点、Q指向D方向为正方向的建立x轴，水平导轨处于方向竖直向下的磁场中，且磁场的磁感应强度大小为B=kx （k为常量）．t=0s时ab棒位于水平导轨上与NQ重合，在水平外力F的作用下沿x轴正方向作速度为v的匀速运动．不计各导轨的电阻和一切摩擦阻力，两金属棒与导轨保持良好接触，忽略感应电流产生的磁场，重力加速度为g．试求：
（1）从t=0s到ef棒刚好与小立柱1和2的弹力为零的时间内，ab棒运动的距离x₀；
（2）当ef棒与小立柱1和2的弹力刚好为零时，立即撤去小立柱1和2，通过改变ab棒的速度使ef棒始终静止，则ab棒再移动距离x₀过程中ef棒产生的焦耳热Q和通过ef棒某横截面的电量q．

Answer 1

分析 （1）小立柱1和2的弹力为零时，导体棒ef受重力、支持力和安培力平衡，根据平衡条件求解安培力，根据安培力公式求解感应电流，根据切割公式列式求解，ab棒运动的距离x₀；
（2）撤去小立柱1和2后ef棒始终静止，说明感应电流不变；求解ab棒受安培力表达式，根据平衡条件得到拉力表达式，计算出拉力的功，根据功能关系，等于忽略产生的电热；再根据焦耳定律公式列式求解时间，得到电荷量q．

解答 解：（1）ef棒刚好与小立柱1和2的弹力为零时，设通过ef的电流为I，对ef受力析可求得：mgsinθ=B₀I₀L…①
ab棒产生的电动势：E=BLv…②
由闭合电路欧姆定律可得：${I_0}=\frac{E}{2R}$…③
由题可知：B=kx…④
联立①②③④可得：${x_0}=\frac{2mgRsinθ}{{kv{B_0}{L^2}}}$…⑤
（2）撤去小立柱1和2后，ef棒保持静止可知，通过ef、ab棒的电流I₀恒定，由①可得：${I_0}=\frac{mgsinθ}{{{B_0}L}}$…⑥
此过程ab棒所受安培力：F=BI₀L=kI₀Lx…⑦
由⑦可以分析出通过ab棒所受安培力与位移成正比，
则F-x图象与x轴包围的面积大小即为产生的电能，则ab棒从x=x₀到x=2x₀过程电能为：$E=\frac{{3k{x_0}^2mgsinθ}}{{2{B_0}}}$，
$Q=\frac{E}{2}=\frac{{3k{x_0}^2mgsinθ}}{{4{B_0}}}$，
又$E={I_0}^2Rt$，q=I₀t，
得$q=\frac{{3kL{x_0}^2}}{4R}$；
答：（1）ab棒运动的距离x₀$\frac{2mgRsinθ}{kv{B}_{0}{L}^{2}}$；
（2）ab棒再移动距离x₀过程中ef棒产生的焦耳热Q为$\frac{3k{{x}_{0}}^{2}mgsinθ}{4{B}_{0}}$，通过ef棒某横截面的电量q为$\frac{3kL{{x}_{0}}^{2}}{4R}$．

点评 解决本题的关键是分析清楚棒的受力的情况，根据平衡条件找出磁感应强度的表达式．要知道力学与电磁感应联系的桥梁是安培力，要能熟练运用法拉第定律、欧姆定律和安培力公式推导出安培力与速度的关系式．