Question

18．如图所示，在xoy平面的第Ⅱ象限内有半径为R的圆分别与x轴、y轴相切于P、Q 两点，圆内存在垂直于xoy平面向外的匀强磁场．在第I象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E．一带正电的粒子（重力不计）以速率v₀从P点射入磁场后恰好垂直y轴进入电场，最后从M（2R，0）点射出电场，出射方向与x轴正向夹角为α，且满足tanα=1.5．求：
（l）带电粒子的比荷；
（2）磁场的感应强度的大小B；
（3）粒子从P点入射方向与x轴负方向的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，由到达M的速度方向可利用速度的合成与分解得知该点y方向的速度．结合牛顿第二定律求得粒子的比荷；
（2）根据运动学的公式，求出粒子进入电场时的位置，画出粒子运动的轨迹，根据图象中的几何关系求出粒子运动的半径，根据半径公式r=$\frac{mv}{qB}$求出磁感应强度B；
（3）粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，利用洛伦兹力提供向心力的公式，求出在磁场中运动的轨迹半径，利用几何关系求θ．

解答 解：（1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，设粒子沿y轴负方向做匀加速运动的加速度为a，
  qE=ma
设粒子在电场中运动的时间为t，在x轴方向上，粒子做匀速直线运动，有：2R=v₀t ①
在M处，粒子沿y轴方向的分速度为：v_y=v₀tanα ②
v_y=at ③
又 ④
据题意 tanα=1.5 ④
联立①②③④解得：$\frac{q}{E}$=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4ER}$ 
（2）粒子的运动轨迹如图所示，O₁是磁场圆的圆心，O₂是粒子轨迹圆的圆心．P′是粒子射出磁场的位置，依题意知，粒子垂直y轴进入电场，则P′O∥PO₁，且P′O₁=PO₁=R
所以粒子的轨道半径 r=R ⑤
由 qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$ ⑥
解得，B=$\frac{4E}{3{v}_{0}}$．
（3）粒子人N点进入电场，ON的长度y应满足：${v}_{y}^{2}$=2ay ⑦
由几何知识得：y=R+Rcosθ  ⑧
解得，θ=60°
答：
（l）带电粒子的比荷为$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4ER}$；
（2）磁场的感应强度的大小B为$\frac{4E}{3{v}_{0}}$；
（3）粒子从P点入射方向与x轴负方向的夹角θ为60°．

点评 粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练运用几何知识解决物理问题．