Question

6．如图甲所示，光滑水平面上一正方形金属框，边长为L，质量为m，总电阻为R，匀强磁场方向垂直于水平面向里，磁场宽度为3L，金属框在拉力作用下向右以速度v₀匀速进入磁场，并保持v₀匀速直线到达磁场右边界，速度方向始终与磁场边界垂直．当金属框cd边到达磁场左边界时，匀强磁场磁感应强度大小按如图乙所示的规律变化．
（1）金属框从进入磁场到cd边到达磁场右边界的过程中，求通过回路的焦耳热Q及拉力对金属框做功W；
（2）金属框cd边到达磁场右边界后，若无拉力作用且金属框能穿出磁场，求金属框离开磁场右边界过程中通过回路的电荷量q及穿出后的速度v₁．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律分别求出金属框进入磁场时产生的电动势和完全在磁场中运动的过程中产生的感应电动势，再根据闭合电路的欧姆定律求解感应电流的大小，利用焦耳定律计算产生的热量，根据功能关系得到对金属框做的功；
（2）对金属框离开磁场过程中，根据电荷量的经验公式求解电荷量大小，对金属框由动量定理求解穿出后的速度v₁．

解答 解：（1）金属框进入磁场时产生的电动势为：E₁=B₀Lv₀；
产生逆时针方向的感应电流，其大小为：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$=$\frac{{B}_{0}L{v}_{0}}{R}$
产生的焦耳热为：Q₁=I₁²R$•\frac{L}{{v}_{0}}$；
联立解得：Q₁=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{R}$；
金属框完全在磁场中运动的过程中产生的感应电动势为：E₂=$\frac{△B}{△t}•S$=$\frac{{B}_{0}L{v}_{0}}{2}$；
产生逆时针方向的感应电流，其大小为：I₂=$\frac{{E}_{2}}{R}$=$\frac{{B}_{0}L{v}_{0}}{2R}$；
产生的焦耳热为：Q₂=I₂²R$•\frac{2L}{{v}_{0}}$；
联立解得：Q₂=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$；
金属框从进入磁场到cd边到达磁场右边界的过程中，回路的焦耳热Q为：
Q=Q₁+Q₂=$\frac{{3B}_{0}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$；
金属框在磁场内运动时，拉力为零不做功，对金属框进入磁场的过程中，根据功能关系可得：
W=Q₁=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{R}$；
（2）对金属框离开磁场过程中，
E=$\frac{△Φ}{△t}$，I=$\frac{E}{R}$，
根据电流的计算公式可得：q=I△t=$\frac{△Φ}{R}$，
其中△Φ=2B₀L²，
联立解得：q=$\frac{2{B}_{0}{L}^{2}}{R}$；
离开磁场过程中，对金属框由动量定理可得：
-2B₀It=m△v，
即：-2B₀Lq=m（v₁-v₀），
联立解得：v₁=v₀-$\frac{4{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{mR}$．
答：（1）金属框从进入磁场到cd边到达磁场右边界的过程中，通过回路的焦耳热为$\frac{{3B}_{0}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$；拉力对金属框做功为$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{R}$；
（2）金属框离开磁场右边界过程中通过回路的电荷量为$\frac{2{B}_{0}{L}^{2}}{R}$，穿出后的速度为v₀-$\frac{4{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{mR}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．