Question

9．在图（a）所示的电路中，电阻值均为R，则A、B两点之间的等效电阻R_AB=$\frac{7}{12}$R．在图（b）所示的有限网络中，每一小段导体的电阻值均为R，则A、B两点之间的等效电阻R_AB=$\frac{6}{11}$R．

Answer 1

分析 （a）画出AB间的等效电路，利用串并联电路知识和欧姆定律求电阻；
（b）垂直于AB做直线，AB的垂直平分线的四个点电势相等，可以直接短路，利用串并联电路知识和欧姆定律求电阻．

解答 解：（a）电阻编号如图所示：

AB间等效电路为：

设电源电压为U，干路电流为I，则等效电阻为：R_等=$\frac{U}{I}$，对1、2、3、4、5、6、7组成的部分，设靠近A端的电阻R两端的电压为k_U（0＜k＜1为待定系数），则靠近B端的电阻R两端的电压也为k_U，则两电阻2R两端的电压都为（1-k）U，中间电阻2两端的电压应为（1-2k）U，
考虑节点电流，流入电流等于流出电流，则有：
（1-k）$\frac{U}{2R}$+（1-2k）$\frac{U}{R}$=k$\frac{U}{R}$
解得：k=$\frac{3}{7}$
则总电流为：I=k$\frac{U}{R}$+（1-k）$\frac{U}{2R}$
代入k=$\frac{3}{7}$，可得：I=$\frac{5U}{7R}$，代入R_等=$\frac{U}{I}$得：
R_等=$\frac{7}{5}$R，
故可知AB等效电阻为：$\frac{1}{{R}_{AB}}$=$\frac{1}{\frac{7}{5}R}$+$\frac{1}{R}$
解得：R_AB=$\frac{7}{12}$R
（b）垂直于AB做直线，AB的垂直平分线的四个点电势相等，可以直接短路；

可以AB间等效电阻为：$\frac{1}{{R}_{AB}}$=$\frac{R}{2}$+$\frac{R}{4}$+$\frac{R}{6}$+$\frac{R}{6}$+$\frac{R}{4}$+$\frac{R}{2}$
解得：R_AB=$\frac{6}{11}$R
故答案为：$\frac{7}{12}$R；$\frac{6}{11}$R．

点评 该题先要会画等效电路，能掌握节点电流法是解题关键，结合串并联电路知识解决．