Question

6．表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个可视为质点的小球挂在定滑轮上，如图所示．两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为L₁=2.4R和L₂=2.5R，则这两个小球的质量之比为$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$，小球与半球之间的压力之比为$\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}$，则以下说法正确的是（　　）

• A． $\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{24}{25}$
• B． $\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{25}{24}$
• C． $\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}$=$\frac{25}{24}$
• D． $\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}$=$\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 分别以两个小球为研究对象，分析受力情况，作出力图，运用三角形相似法得出绳子拉力、支持力与重力的关系式，再求解质量之比和压力之比．

解答 解：先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力m₁g、绳子的拉力T和半球的支持力N，作出力图．
由平衡条件得知，拉力T和支持力N的合力与重力mg大小相等、方向相反．设OO′=h，根据三角形相似得：
$\frac{T}{{L}_{1}}=\frac{{m}_{1}g}{h}$=$\frac{{N}_{1}}{R}$，
同理，对右侧小球，有：
$\frac{T}{{L}_{2}}=\frac{{m}_{2}g}{h}$=$\frac{{N}_{2}}{R}$，
解得：
m₁g=$\frac{Th}{{L}_{1}}$…①
m₂g=$\frac{Th}{{L}_{2}}$…②
N₁=$\frac{{{m_1}gR}}{h}$…③
N₂=$\frac{{{m_2}gR}}{h}$…④
由①：②得
m₁：m₂=L₂：L₁=25：24，
由③：④得
N₁：N₂=m₁：m₂=L₂：L₁=25：24，
故AD错误，BC正确；
故选：BC．

点评 本题运用三角形相似法处理非直角三角形的力平衡问题，抓住两球所受的绳子拉力相等是桥梁．