题目内容

15．如图所示，在车厢中，一小球被A、B两根轻质细绳拴住，在两悬点处设有拉力传感器，可分别测量出A、B两绳拉力大小．已知A、B两绳与竖直方向夹角均为θ=37°，小球的质量为m=1.6kg，重力加速度g=10m/s2，cos37°=0.8，sin37°=0.6，求：
（1）车厢静止时，细绳A和B所受到的拉力大小．
（2）当车厢以一定的加速度运动时，通过传感器发现B绳受到的拉力为零，而A绳拉力为32N，求此时车厢加速度的大小和方向．
（3）若已知B绳能随受的最大拉力为8N，车厢向右加速运动时，要求B绳有拉力但又不被拉断，求车厢加速度的大小范围．

分析 （1）车厢静止时，小球受力平衡，由共点力平衡条件求解即可．
（2）B绳受到的拉力为零时，小球所受的合力水平向右，加速度水平向右，根据牛顿第二定律求解．
（3）根据牛顿第二定律求出B绳拉力最大和为零两种临界状态时的加速度，即可得到加速度的范围．

解答 解：（1）车厢静止时，小球共点力作用下处于平衡状态，小球的受力如图1，则有
   FAsinθ=FBsinθ
   FAcosθ+FBcosθ=mg
得 FA=FB=10N
（2）B绳受到的拉力变为零时，因为小球沿水平方向运动，加速度在水平方向，故小球受力如图2所示．
  因FA′cosθ=32×cos37° N=25.6N＞mg=16N，所以小球已经向上飘起．
此时A绳与竖直方向的夹角 β＞θ，由牛顿第二定律得：
  FA′cosβ=mg
  FA′sinβ=ma′
解得 a′=10$\sqrt{3}$m/s2；
由受力分析可知：加速度方向水平向右．
（3）静止时B绳的拉力为10N，大于能承受的最大拉力8N，故车厢不能静止
①设B绳拉力为FB″=8N，小球受力如图4所示，由牛顿第二定律得：
  FA″sinθ-FB″sinθ=ma″
  FA″cosθ-FB″cosθ=mg
解得 a″=1.5m/s2；故要B绳不被拉断，则 a″＞1.5m/s2；
②设B绳张力为0，但小球位置不变，则小球受力如图4所示，由牛顿第二定律得
   FA″′cosθ=mg
   FA″′sinθ=ma″′
解得 a″′=7.5m/s2．
故要使B绳张紧，则车厢的加速度要满足 a″′≤7.5m/s2．
综上：所求的加速度范围为 1.5m/s2＜a＜7.5m/s2．
答：
（1）车厢静止时，细绳A和B所受的拉力都是10N．
（2）此时车厢的加速度的大小为10$\sqrt{3}$m/s2，加速度方向水平向右．
（3）车厢加速度的大小范围为1.5m/s2＜a＜7.5m/s2．

点评 解决本题的关键要正确分析小球的状态，判断临界状态及其临界条件，运用正交分解法或合成法都可以解答．

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