Question

5．在火车站站台上有一观察者，在列车开动时刚好站在第一节车厢的最前端，列车启动后做匀加速直线运动．5s末时第一节车厢末端通过观察者，列车共10节车厢，每节车厢长度相等，车厢间的间隙不计，则列车通过观察者共需时间$5\sqrt{10}$秒，第5节车厢经过观察者需时间$5（\sqrt{5}-2）$秒，第3节车厢末端跟第6节车厢末端经过观察者时的速度之比为$1：\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 本题由位移和时间的关系以及速度和位移的关系类比得出，其中结合初速度为0的匀加速直线运动连续相等的位移所用的时间之比这个推论．

解答 解：设车厢运动的加速度为a，每节车厢的长度为L，列车通过观察者共需时间t，由公式$x={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$，可知：$L=\frac{1}{2}a×{5}^{2}$，$10L=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，由两式对比得出：$t=5\sqrt{10}s$
由初速度为0的匀加速运动推论：连续相等的位移所用的时间之比为：$1：（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）：…：（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$，所以第5节车厢经过观察者需时间为：$（\sqrt{5}-\sqrt{4}）×5$s=$5（\sqrt{5}-2）$s，
设第3节车厢跟第6节车厢末端经过观察者时的速度分别为v₃和v₆，由公式${v}^{2}-{v}_{0}^{2}=2ax$，可知${v}_{3}^{2}=2a×3L$，${v}_{6}^{2}=2a×6L$，对比两式得出：${v}_{3}：{v}_{6}=\sqrt{3}：\sqrt{6}$=$1：\sqrt{2}$
故答案为：$5\sqrt{10}$，$5（\sqrt{5}-2）$，$1：\sqrt{2}$．

点评 此题难点在于第二步，可以由匀变速运动公式推导得出，但较麻烦．可由初速度为0的匀加速直线运动的推论直接类比得出，这种方法对于匀减速到0的也可运用．