Question

17．如图所示，质量M=4kg、高度为h=1.25m的小车放在水平光滑的平面上，质量为m=2kg的小物块位于小车的右端，现给小物块和小车分别向左、向右大小均为v₀=3m/s的初速度，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.1，当小物块对地位移最大时恰好滑离小车，取g=10m/s²．求：
（1）小车的长度；
（2）小物块滑离小车落地瞬时，小车末端与小物块的水平距离．

Answer 1

分析 （1）小物块与小车组成的系统所受的合外力为零，总动量守恒，由于小车的质量大于小物块的质量，可知小车的动量大于小物块的动量，小物块先向左做减速运动，在速度等于0时，恰好小物块对地位移最大；
由动量守恒定律求出小车此时的速度，由能量守恒定律求出两者的相对位移大小，即为小车最大长度．
（2）小物块滑离小车后做自由落体运动，由高度求出时间，再由位移公式和几何关系求解．

解答 解：（1）由题可知，当小物块对地位移最大时的速度等于0，小物块与小车组成的系统所受的合外力为零，总动量守恒，取水平向左为正方向，根据动量守恒定律得：
 Mv₀-mv₀=Mv+0
解得：v=$\frac{M-m}{M}{v}_{0}=\frac{4-2}{4}×3=1.5$m/s
根据系统的能量守恒得
  μmgL=$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}^{2}$
解得 L=11m
所以为使小物块滑离小车，小车最大长度为3m．
（2）小物块滑离小车时水平方向的速度恰好等于0，所以物块与小车分离后做自由落体运动，下落的时间：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}=0.5$s．
该过程中小车的位移：
x=vt=1.5×0.5=0.75m
答：（1）小车的长度是11m；
（2）小物块滑离小车落地瞬时，小车末端与小物块的水平距离是0.75m．

点评 本题是物块在小车上滑动的类型，根据系统的动量守恒和能量守恒研究，也可以根据牛顿第二定律及运动学基本公式结合求解．