Question

如图所示（俯视图），水平光滑导轨MN、PQ间距离为l，M、P端接有阻值为R的电阻。磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面，竖直向下。质量为m、长为l的金属棒ab垂直于导轨MN、PQ，在垂直于ab的水平恒力F作用下由静止开始运动，不计导轨及ab的电阻，且导轨足够长。求：

⑴ ab棒能够达到的最大速度v；

⑵ ab棒速度为v时的加速度a；

⑶ 当速度为v时撤去外力F，此后棒ab能够运动的距离x。

Answer 1

(1) v = FR/B²l² (2) a = F/2m，方向与F相同(3) mFR²/B⁴l⁴

解析:

⑴ 当安培力F_A与恒力F平衡时，ab棒匀速运动，速度v达到最大

       F = BIl = B²l²v/R，则v = FR/B²l²。

⑵ 速度v′= v/2时感应电动势E = Bl v′、电流强度I = E/R，安培力F_A = BIl，根据牛顿第二定律有：F - F_A = ma，得a = F/2m，方向与F相同。

⑶ 撤去F后ab在安培力作用下做减速运动，直至静止，根据在足够小的时间Δt内，有速度变化Δv，则加速度a = Δv/Δt，根据牛顿第二定律 BIl = ma即B²l²v/R = ma = mΔv/Δt，变形后得到(B²l²v/R)Δt = mΔv，求和有Σ(B²l²/R)vΔt =ΣmΔv，即（B²l²/R）ΣvΔt = mv – 0；所以有（B²l²/R）x = mv，解得x = mvR/B²l² = mFR²/B⁴l⁴。