Question

12．如图所示，倾角为θ=37°的粗糙斜面AB与半径为R的光滑圆形轨道BCD相切于B点，质量为m的小物块字斜面顶端A由静止滑下，在斜面底端B进入圆形轨道，物块刚好能通过圆形轨道的最高点D，已知A、B两点的高度差为3R，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）物块通过圆形轨道的最高点D时的速度大小；
（2）物块通过圆形轨道的最低点C时对轨道的压力大小
（3）物块与斜面AB 间的动摩擦因数．

Answer 1

分析 （1）小球恰能到达最高点D点时，只受重力作用，用牛顿第二定律可得此位置的速度；
（2）由A到B的过程机械能守恒，可求出小球在C点的速度，再对小球受力分析，由牛顿第二定律可得轨道对小球的支持力，结合牛顿第三定律可得小球对轨道的压力．
（3）由几何关系分析AB产的距离以及BC间的高度差；对AC过程由动能定理列式，即可求得AB间的动摩擦因数；

解答 解：（1）小球恰能到达圆形轨道的最高点C点时，重力提供向心力，由牛顿第二定律有：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得：v_D=$\sqrt{gR}$；
（2）物体由C到D的运动过程，由动能定理知：
-mg2R=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²
物块通过圆形轨道的最低点C时：
F_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F_C=6mg
由牛顿第三定律可知，物块通过圆形轨道的最低点C时对轨道的压力大小为6mg；
（3）斜面AB间的距离L=$\frac{3R}{sin37°}$
BC间的高度差h_BC=R（1-cos37°）
物体由A到C的运动过程，由动能定理可知：
mg（3R+h_BC）-μmgcos37°L=$\frac{1}{2}$mv_C²
解得：μ=0.175
答：（1）物块通过圆形轨道的最高点D时的速度大小为$\sqrt{gR}$；
（2）物块通过圆形轨道的最低点C时对轨道的压力大小为6mg；
（3）物块与斜面AB 间的动摩擦因数为0.175．

点评 本题考查动能定理的应用以及向心力公式，此题的关键是向心力的确定，知道小球恰能通过圆形轨道最高点的条件是重力充当向心力；而小球运动到圆形轨道的最低点时，支持力和重力的合力提供向心力．若要求的是小球对轨道的压力，一定不要忘记牛顿第三定律．