Question

12．自然界时刻发生着你死我活的奔跑赛，胆小势弱的羚羊从静止开始奔跑，经过x₁=50m的距离能加速到最大速度v₁=25m/s，并能维持该速度一段较长的时间；猎豹从开始奔跑，经过x₂=60m的距离能加速到最大速度v₂=30m/s，以后只能维持这个速度t₀=4.0s，接着做加速度大小为a=2.5m/s²的匀减速运动直到停止． 设猎豹距离羚羊x时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后t'=0.5s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑． 则：
（1）猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在什么范围？
（2）猎豹要在其减速前追到羚羊，x值应在什么范围？
（3）猎豹要能够追上羚羊，x值应在什么范围？

Answer 1

分析 这是追及相遇问题，（1）（2）两个问题，指猎豹在加速和匀速追到羚羊，肯定能追上，主要从位移关系列式求解，（3）主要考虑猎豹在减速阶段追到羚羊，一定要在两者速度相等之前追上，这是能否追上的临界条件．抓住速度相等，位移的关系列式求解．

解答 解：（1）羚羊做加速运动的加速度大小为：a₁═$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{x}_{1}}=\frac{2{5}^{2}}{2×50}$m/s²=6.25 m/s²
羚羊做加速运动的时间为：t₁═$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{25}{6.25}$s=4.0 s 
而猎豹做加速运动的加速度为：a₂═$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{x}_{2}}=\frac{3{0}^{2}}{2×60}$m/s²=7.5 m/s²
猎豹做加速运动的时间为：t₂═$\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}=\frac{30}{7.5}$s=4.0 s 
因t₂=t₁，猎豹要在其加速阶段追上羚羊，猎豹运动的时间t≤4 s
所以，猎豹追上羚羊时，羚羊也正在加速运动，则有：$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}≥\frac{1}{2}{a}_{1}（t-t'）^{2}+x$
解得：x≤21.7 m．
（2）设猎豹在维持最大速度的时间内追到羚羊，由题意得总时间：t≤8.0 s
由t₂=t₁可知，当猎豹进入匀速运动过程0.5 s后，羚羊将做匀速运动．所以，当猎豹追到羚羊时，羚羊早已在做匀速运动，只是匀速运动的时间比猎豹少
了0.5 s，则有：x₂+v₂t₀≥x₁+x+v₁（t₀-t'）
解得：x≤42.5 m　
综合（1）问可知：21.7 m＜x≤42.5 m．
（3）当猎豹的速度减到与羚羊的速度相等时，如果还追不上羚羊则永远追不上了．
猎豹减速到与羚羊速度相等的时间为：t″═2 s　
根据运动学公式，有：x₂+v₂t₀+≥x₁+x+v₁（t₀+t″-t'）　
解得：x≤47.5 m．
答：（1）猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值范围x≤21.7 m；
（2）猎豹要在其减速前追到羚羊，x值范围21.7 m＜x≤42.5 m；
（3）猎豹要能够追上羚羊，x值范围x≤47.5 m．

点评 追及相遇问题：（1）一定能追上；速度相等时两者距离最大．（2）有可能追上，在两者速度相等时①没有追上，此时距离最小；②刚好追上，只能相遇1次或恰好相遇；③超过，相遇2次或在此之前已经发生相撞．从时间、位移、速度三个角度列式求解．