Question

9．足够大的容器中盛有某种液体，液体中浸没着顶角2φ=30°的圆锥形的透明薄壳ABC，壳内充满空气，一束光线从圆锥底部AB的中点O射向BC上P点时，恰好在水平液面上发生了全反射，已知∠POB=60°，且不考虑壳对光线产生折射的影响．
（1）求液体的折射率n；
（2）若光线PO绕O点逆时针方向转动，能否从水平液面射出？请简述理由．（可能用得到的数学公式：sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．cos75°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$）

Answer 1

分析 （1）由几何关系求出光线在BC面上的入射角，作出光路图，光线恰好在水平液面上发生了全反射，入射角等于临界角C，根据折射定律和几何知识结合求解．
（2）光线PO绕O点逆时针方向转动，折射光线也绕O点逆时针方向转动，光线射到水平液面的入射角将减小，对照全反射条件分析．

解答 解：（1）由几何关系得∠ABC=75°，∠OPB=180°-∠POB-∠ABC=180°-60°-75°=45°
光线在BC面上的入射角 i=90°-∠OPB=45°
光线在BC面发生折射，则有 n=$\frac{sini}{sinr}$
据题，光线恰好在水平液面上发生了全反射，入射角等于临界角C，则有 sinC=$\frac{1}{n}$
由几何知识可得 r+C=∠BCD=75°
联立解得 r=30°，n=$\sqrt{2}$
（2）光线PO绕O点逆时针方向转动，折射光线PD也绕O点逆时针方向转动，光线射到水平液面的入射角将减小，入射角将小于临界角，不能发生全反射，将从水平液面射出．
答：（1）液体的折射率n是$\sqrt{2}$．
（2）光线PO绕O点逆时针方向转动，折射光线PD也绕O点逆时针方向转动，光线射到水平液面的入射角将减小，入射角将小于临界角，不能发生全反射，将从水平液面射出．

点评 本题是几何光学问题，关键要掌握全反射条件及临界角与折射率的大小关系sinC=$\frac{1}{n}$．结合几何关系帮助解答．