Question

9．有两颗行星A、B，在这两颗行星表面附近各有一颗卫星绕行星做匀速圆周运动，若这两颗卫星运行的周期相等，则下列说法正确是（　　）

• A． 两颗行星的半径相等
• B． 两颗行星的密度相等
• C． 两颗卫星的质量相等
• D． 两颗卫星的线速度大小相等

Answer 1

分析 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出线速度、角速度、周期的表达式．进而分析各量的大小关系；由人造卫星的万有引力等于向心力，用T表示向心力，求出质量后除以体积得密度．

解答 解：A、对于行星的近地卫星，轨道半径等于行星的半径，根据万有引力提供向心力有，$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$①，得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}$，由于行星质量不确定，行星的半径不确定，故A错误；
B、行星的质量由①得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，周期相同，则两颗行星的密度相等，故B正确；
C、根据题目的数据无法判断两卫星的质量，故C错误．
D、根据$v=\frac{2πR}{T}$，故线速度与行星的半径成正比，线速度大小不一定相等．故D错误．
故选：B

点评 本题要掌握卫星绕行星表面做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，可以计算出中心天体即行星的质量，再根据密度的定义式可计算出行星的密度．