题目内容
【题目】图所示，一长L=4.5m、质量m1=1kg的长木板静止在水平面上，与地面间的动摩擦因数μ1=0.1．长木板B端距光滑水平轨道CD的C端距离S=7m，长木板的上表面与CD面等高．一小滑块以v0=9m/s的初速度滑上长木板的A端后长木板开始运动．小滑块质量m2=2kg，与长木板之间的动摩擦因数μ2=0.4，长木板运动到C处时即被半圆粘连．水平轨道CD右侧有一竖直光滑圆形轨道在D点与水平轨道平滑连接，圆心为O，半径R=0.4m．一轻质弹簧一端固定在O点的轴上，一端拴着一个质量与小滑块相等的小球，弹簧的原长为l0=0.5m，劲度系数k=100N/m，不计小滑块和小球的大小，取重力加速度的大小g=10m/s2．求：
（1）小滑块刚滑上长木板时，长木板的加速度大小a1和小滑块的加速度大小a2；
（2）长木板与水平轨道C端发生粘连前瞬间的速度vt；
（3）小滑块与小球在D点发生弹性碰撞后，小球随即沿圆弧轨道运动，通过分析可知小球到达P点时离开圆轨道，求P、O连线与竖直方向夹角θ的余弦值．
【答案】（1）5m/s2 4m/s2 （2）4m/s； （3）余弦值为
【解析】（1）由题意知滑块带动长木板滑动，先以滑块为研究对象，长木板对滑块的摩擦力使滑块产生加速度，故有：
μ2m2g=m2a2
可得滑块的加速度为：
长木板在滑块和地面滑动摩擦力共同作用下产生加速度有：
；
(2) 设滑块和木板达到共同速度v1时间为t
则v1=a1t
v1=v0﹣a2t代入数据解得
v1=5×1m/s=5m/s此过程中长木板的位移为：
小滑块的位移为：
滑块与木板的位移差为：△x=x2﹣x1=7﹣2.5m=4.5m
因为△x=L，所以滑块刚好滑至长木板的右端时，两者具有共同的速度，经后长木板与滑块一起做匀减速运动
加速度为：
因为|a3|＜|a2|，所以滑块和长木板一起减速，设滑行到C处的速度为vC，
根据速度位移关系有：
即长木板与水平轨道C端发生粘连前瞬间的速度vt为4m/s；
(3) 小滑块和小球质量相同，在D处弹性碰撞后，两球交换速度，小球以vC=4m/s沿圆弧轨道向上运动，
设小球离开轨道时的速度为v
由机械能守恒有：
根据牛顿第二定律有：
由以上两式解得：
。
