Question

如图所示，质量为M、倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为。

（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
（3）求弹簧的最大伸长量；
（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？

Answer 1

（1） （2）见解析（3） （4）

（1）设物块处于平衡位置时弹簧的伸长量为Δl，则
，解得
所以此时弹簧的长度为。
（2）当物块相对平衡位置的位移为x时，弹簧的伸长量为x+Δl，物块所受合力（即回复力）
F_合=，联立以上各式，F_合=-kx，由此可知该物块做简谐运动。
（3）该物块做简谐运动的振幅为，由简谐运动的对称性可知，弹簧的最大伸长量
为
（4）设物块位移x为正，对斜面受力分析如图所示。

由于斜面受力平衡，则有
在水平方向上有：f+F_N1sinα-Fcosα=0；在竖直方向上有：F_N2－Mg-Fsinα-F_N1cosα=0
又F=，F_N1=mgcosα
联立可得f=kxcosα，F_N2=Mg+mg+kxsinα
为使斜面始终处于静止状态，结合牛顿第二定律，应满足，所以
当x=-A时，上式右端达到最大值，于是有
μ≥。
【另解】对由斜面、物块、弹簧组成的系统受力分析，受重力（M＋m）g、地面的支持力N和水平方向的静摩擦力f作用，如图所示。

建立图示直角坐标系，根据牛顿第二定律可知：
在水平方向上有：f=M×0＋macosα；在竖直方向上有：N－（M＋m）g=M×0＋masinα
其中，静摩擦力f≤f_m＝μN，a==-(-A≤x≤A)，
联立以上各式，解得：μ≥。