Question

5．用力f推地面上的一个质量为m的木箱，用力的方向向前下方，且与水平面成α角，木箱与地面之间的静摩擦系数为μ₀，动摩擦系数为μ_k，求：
（1）要推动木箱，f最小为多少？使木箱做匀速运动，f为多少？
（2）证明当α大于某值时，无论f为何值都不能推动木箱，并求α值．

Answer 1

分析 （1）根据最大静摩擦力，根据共点力平衡，抓住水平方向和竖直方向上的合力为零求出f的最小值．木箱匀速运动时，根据共点力平衡，通过水平方向和竖直方向合力为零进行求解．
（2）根据平衡条件求解F的表达式，根据推力F的表达式进行讨论，当分母为零时力F为无穷大，然后求解即可．

解答 解：（1）根据共点力平衡有：fcosα=μ₀（mg+fsinα），
解得f的最小值f_min=$\frac{{μ}_{0}mg}{cosα-{μ}_{0}sinα}$，
当木箱做匀速运动时，有：fcosα=μ_k（mg+fsinα），
解得f=$\frac{{μ}_{k}mg}{cosα-{μ}_{k}sinα}$．
（2）当推力F与水平方向夹角为临界值α时，摩擦力恰好达到最大值，木箱受力平衡，则
fcosα=μ_k（mg+fsinα），
解得f=$\frac{{μ}_{k}mg}{cosα-{μ}_{k}sinα}$，当满足cosα-μ_ksinα=0时，F为无穷大，即说明无论用多大的推力，也不能使物体运动，
解得$tanα=\frac{1}{{μ}_{k}}$，解得$α=arctan\frac{1}{{μ}_{k}}$．
答：（1）要推动木箱，f最小为$\frac{{μ}_{0}mg}{cosα-{μ}_{0}sinα}$，使木箱做匀速运动，f为$\frac{{μ}_{k}mg}{cosα-{μ}_{k}sinα}$．
（2）α值为$arctan\frac{1}{{μ}_{k}}$．

点评 本题考查了共点力平衡的基本运用，关键建立坐标系，抓住竖直方向和水平方向平衡进行求解，对于第三问，属于“自锁”问题，通过F的表达式，抓住F趋向于无穷大进行求解，难度较大．