Question

我国发射的“神州”六号飞船于2005年10月12日上午9：00在酒泉载人航天发射场发射升空，经变轨后飞船在距地面一定高度的圆轨道上飞行．在太空飞行约115小时30分，环绕地球77圈，在完成预定空间科学和技术实验任务后于北京时间10月17日在内蒙古中部地区准确着陆．
（1）根据以上数据估算飞船的运行周期和轨道距离地面的高度．（地球半径为R=6.4×10⁶m，地球表面的重力加速度g=10m/s²，取π²=10，295～310的立方根取6.74）
（2）当返回舱降落距地球10km时，回收着陆系统启动，弹出伞舱盖，连续完成拉出引导伞、减速伞和主伞动作，主伞展开面积足有1200m²，由于空气阻力作用有一段减速下落过程，若空气阻力与速度平方成正比，即f=kv²，并已知返回舱的质量为m₀=8.0×10³kg，这一过程最终匀速时的收尾速度为v₁=14m/s，则当返回舱速度为v₂=42m/s时的加速度为多大？
（3）当返回舱在距地面1m时，点燃反推火箭发动机，最后以不大于v₃=4.0m/s的速度实现软着陆，这一过程中反推火箭产生的反推力至少等于多少？（设反推火箭发动机点火后，空气阻力不计，可以认为返回舱做匀减速直线运动）

Answer 1

分析：（1）先由题可求得飞船的运行周期．飞船绕地球飞行的过程中，由万有引力提供向心力，在地面上，万有引力等于重力，根据这两个关系列式求解；
（2）当飞船达到收尾速度v₁=14m/s时，重力等于阻力，可列式平衡方程求出k；再根据牛顿第二定律求速度为v₂=42m/s时的加速度；
（3）当软着陆速度为v₃=4.0m/s时，反推力最小，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解．

解答：解：（1）由题意，飞船的运行周期约为：T=1.5h=5.4×10³s   ①
飞船绕地球飞行的过程中，万有引力提供向心力，则：
  G

Mm

(R+h)2

=m

4π2

T2

（R+h）  ②
在地面有：G

Mm

R2

=mg   ③
由②③得：h=

3	R2T2g 4π2

-R    ④
代入数据解得：h=3.4×10⁵m 
（2）经分析，当飞船达到收尾速度v₁=14m/s时，其重力等于阻力，即：
  m₀g=k

v

2 1

   ⑤
当飞船的速度为：v₂=42m/s时，由牛顿第二定律得：
  k

v

2 2

-m0g=m₀a   ⑥
联立⑤⑥式得：a=（

v 2 2

v 2 1

-1）g=80m/s²
（3）当软着陆速度为v₃=4.0m/s时，反推力最小，设为F，
由牛顿第二定律得：F-m₀g=m₀a′⑦
又由运动学公式：

v

2 1

-

v

2 3

=2a′s       ⑧
联立⑦⑧得，F=

m0( v 2 1 - v 2 3 )

2s

+m₀g=8×10⁵N
答：
（1）飞船的运行周期是5.4×10³s，轨道距离地面的高度是3.4×10⁵m．
（2）当返回舱速度为v₂=42m/s时的加速度为80m/s²．
（3）这一过程中反推火箭产生的反推力至少等于8×10⁵N．

点评：对于飞船、卫星类型的问题，关键要建立模型，理清解题思路，运用万有引力定律、向心力公式和牛顿第二定律、运动学公式结合进行研究．