Question

3．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置、半径为R的光滑圆环顶点P，另一端连接一套在圆环上且质量为m的小球，开始时小球位于A点，此时弹簧处于原长且与竖直方向的夹角为45°，之后小球由静止沿圆环下滑，小球运动到最低点B时速率为v，此时小球与圆环之间压力恰好为零．下列分析正确的是（　　）

• A． 小球过B点时，弹簧的弹力大小为m$\frac{{v}^{2}}{R}$
• B． 小球过B点时，弹簧的弹力大小为k（2R-$\sqrt{2}$R）
• C． 从A到B的过程中，重力势能和弹簧的弹性势能转化为小球的动能
• D． 从A到B的过程中，重力对小球做的功等于小球克服弹簧弹力做的功

Answer 1

分析 小球过B点时，由重力和弹簧弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出弹簧的弹力．也可根据胡克定律求弹力．
从A到B的过程中，小球的机械能减小．小球受到弹簧的弹力做负功，重力做正功，根据动能定理分析两个功之间的大小关系．

解答 解：A、小球运动到最低点B时速率为v，此时小球与圆环之间压力恰好为零，则知由弹簧的弹力与重力的合力恰好提供小球所需要的向心力．则：
  F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，所以小球过B点时，弹簧的弹力大小为F=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$，故A错误．
B、小球过B点时，弹簧的伸长量：x=2R-$\sqrt{2}$R，弹力大小为 F=kx=k（2R-$\sqrt{2}$R）．故B正确．
C、从A到B的过程中，弹簧的弹性势能增大，小球的重力势能减小，动能增大，则知重力势能转化为小球的动能和弹簧的弹性势能．故C错误．
D、从A到B的过程中，重力做正功，弹簧的弹力做负功，由于动能增大，由动能定理知，总功为正，所以重力对小球做的功大于小球克服弹簧弹力做的功．故D错误．
故选：B．

点评 此题中小球的机械能不守恒，可以从能量转化的角度进行分析．确定功的大小，可以根据动能定理分析总功的正负来判断．