Question

1．如图所示，半球形玻璃的球半径为R，一束平行的激光束垂直射到半球形玻璃的左侧面上，其中一条光线沿直线穿过玻璃，它的入射点是0；另一条光线的入射点为A，穿过玻璃后两条光线交于P点，OA=$\frac{R}{2}$，OP=$\sqrt{3}$R．若在半球形玻璃左侧上贴上不透光的纸片，激光束不从曲面上直接透射出去，则该纸片的最小面积为多大？

Answer 1

分析 从A点射入玻璃砖的光线方向不变，射到圆弧面上发生折射后射到P点，作出光路图，根据数学知识求出入射角和折射角，再由折射定律求出折射率n．
由sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射临界角C．由曲面上由几何关系找到全反射的临界位置，再求该纸片的最小面积．

解答 解：作出光路图如图所示．一条光线沿直线进入玻璃，在半圆面上的入射点为B，入射角设为θ₁，折射角设为θ₂，则
   sinθ₁=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，得θ₁=30°
因OP=$\sqrt{3}$R，由几何关系知 BP=R，则折射角
  θ₂=2θ₁=60°
由折射定律得玻璃的折射率为
  n=$\frac{sin{θ}_{2}}{sin{θ}_{1}}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$．
若光线恰在曲面上发生全反射，则 sinC=$\frac{1}{n}$
根据几何知识可知，此时从曲面上直接射出去的光线在圆面上是以O为圆心、半径为r的圆．
则 sinC=$\frac{r}{R}$
因而该纸片的最小面积为 S=πr²
联立解得 S=$\frac{π{R}^{2}}{3}$
答：该纸片的最小面积为$\frac{π{R}^{2}}{3}$．

点评 本题考查光的折射和全反射．关键是作出光路图，根据几何知识求出入射角与折射角．