题目内容
1.如图所示,半球形玻璃的球半径为R,一束平行的激光束垂直射到半球形玻璃的左侧面上,其中一条光线沿直线穿过玻璃,它的入射点是0;另一条光线的入射点为A,穿过玻璃后两条光线交于P点,OA=$\frac{R}{2}$,OP=$\sqrt{3}$R.若在半球形玻璃左侧上贴上不透光的纸片,激光束不从曲面上直接透射出去,则该纸片的最小面积为多大?分析 从A点射入玻璃砖的光线方向不变,射到圆弧面上发生折射后射到P点,作出光路图,根据数学知识求出入射角和折射角,再由折射定律求出折射率n.
由sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射临界角C.由曲面上由几何关系找到全反射的临界位置,再求该纸片的最小面积.
解答 解:作出光路图如图所示.一条光线沿直线进入玻璃,在半圆面上的入射点为B,入射角设为θ1,折射角设为θ2,则
sinθ1=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$,得θ1=30°
因OP=$\sqrt{3}$R,由几何关系知 BP=R,则折射角
θ2=2θ1=60°
由折射定律得玻璃的折射率为
n=$\frac{sin{θ}_{2}}{sin{θ}_{1}}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$.
若光线恰在曲面上发生全反射,则 sinC=$\frac{1}{n}$
根据几何知识可知,此时从曲面上直接射出去的光线在圆面上是以O为圆心、半径为r的圆.
则 sinC=$\frac{r}{R}$
因而该纸片的最小面积为 S=πr2
联立解得 S=$\frac{π{R}^{2}}{3}$
答:该纸片的最小面积为$\frac{π{R}^{2}}{3}$.
点评 本题考查光的折射和全反射.关键是作出光路图,根据几何知识求出入射角与折射角.
练习册系列答案
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