Question

5．如图，有一个足够长竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度系数为k的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料--ER流体，它对滑块的阻力可调节．开始滑块静止，ER流体对其阻力为0，弹簧的长度为L．现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下，与滑块碰撞后粘在一起向下运动．为使滑块恰好做匀减速运动，且下移距离为$\frac{2mg}{k}$时速度减为0，ER流体对滑块的阻力必须随滑块下移而适当变化，忽略空气阻力，以滑块初始高度处为原点，向下为正方向建立Ox轴．
（1）求ER流体对滑块的阻力随位置坐标x变化的函数关系式及题中L要满足的条件；
（2）滑块速度第一次减为0瞬间，通过调节，使以后ER流体对运动的滑块阻力大小恒为λmg，若此后滑块向上运动一段距离后停止运动不再下降，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）物体下落过程，由机械能守恒求得物体下落的末速度．由动量守恒定律求物体与滑块碰撞后的共同速度．由于碰后滑块恰好做匀减速运动，合外力一定，根据牛顿第二定律和胡克定律列式，可求得阻力随位置坐标x变化的函数关系式．再由数学知识求L要满足的条件；
（2）分滑块能向上运动和向下运动，滑块停止运动的条件列式求λ的取值范围．

解答 解：（1）设滑块静止时弹簧压缩量为x₀，则 kx₀=mg …①
设物体下落末速度为v₀，由机械能守恒定律得
   mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  …②
设碰后共同速度为v₁，取向下为正方向，由动量守恒定律
  mv₀=（m+m）v₁ …③
滑块下移距离为 x_m=$\frac{2mg}{k}$时  ${v}_{1}^{2}=2a{x}_{m}$ …④
由牛顿第二定律得 k（x+x₀）+f-2mg=2ma …⑤
解得 f=-kx+mg+$\frac{kL}{4}$
当 x_m=$\frac{2mg}{k}$时  f_m=-mg+$\frac{kL}{4}$≥0，得 L≥$\frac{4mg}{k}$
（2）（i）滑块能向上运动，则 k（x_m+x₀）＞2mg+λmg …⑥
得 λ＜1
（ii）当滑块向上运动时，若规定向上为滑块和物体所受合力的正方向，则合力
   F=k（x+x₀）-2mg-λmg=kx-（1+λ）mg …⑦
作出F-x图：

由数学知识得滑块停止运动的位置坐标 x₁=$\frac{2λmg}{k}$
滑块停止运动不再下降的条件是  2mg-k（x₁+x₀）≤λmg …⑧
得 λ≥$\frac{1}{3}$
综上所述，$\frac{1}{3}$≤λ＜1
答：
（1）ER流体对滑块的阻力随位置坐标x变化的函数关系式为f=-kx+mg+$\frac{kL}{4}$，题中L要满足的条件为L≥$\frac{4mg}{k}$．
（2）λ的取值范围为$\frac{1}{3}$≤λ＜1．

点评 本题的关键要是分析清楚物体和滑块的运动过程，把握每个过程的物理规律，挖掘隐含的临界状态和临界条件，运用动量守恒定律、机械能守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律等知识进行研究．