Question

如图所示，在第一、二象限存在场强均为E的匀强电场，其中第一象限的匀强电场的方向沿x轴正方向，第二象限的电场方向沿x轴负方向。在第三、四象限矩形区域ABCD内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，矩形区域的AB边与x轴重合。M是第一象限中无限靠近y轴的一点，在M点有一质量为m、电荷量为e的质子，以初速度v₀沿y轴负方向开始运动，恰好从N点进入磁场，若，不计质子的重力，试求：

（1）N点横坐标d；
（2）若质子经过磁场最后能无限靠近M点，则矩形区域的最小面积是多少；
（3）在（2）的前提下，该质子由M点出发返回到无限靠近M点所需的时间。

Answer 1

（1）　　（2）   （3）

试题分析：（1）粒子从M点到N点做类平抛运动，沿x轴正方向做匀加速运动，沿y轴负方向做匀速直线运动，设运动时间为t₁，则由平抛运动规律得：
在x轴方向上有　在y轴方向上有：
根据牛顿第二定律得：
以上各式联立解得：，
（2）根据运动的对称性作出质子的运动轨迹如图所示

设粒子到达N点时沿x轴正方向分速度为v_x，则，即
质子进入磁场时的速度大小为
由几何关系知：质子进入磁场时速度方向与x轴正方向夹角为45^o
质子在磁场中做圆周运动的半径为
AB边的最小长度为
BC边的最小长度为
所以矩形区域的最小面积为
（3）由几何关系知：质子在磁场中运动的圆心角为，运动时间
根据线速度的定义知：
根据对称性，质子在第二象限运动时间与在第一象限运动时间相等，质子在第一象限运动时间
所以该质子由M点出发返回到无限靠近M点所需的时间为：