Question

4．如图所示，一个质量为m，电荷量+q的带电粒子（重力忽略不计），从静止开始经U₁电压加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场中，金属板长L，两板间距d，粒子射出偏转电场时的偏转角θ=30°，并接着进入一个方向垂直纸面向里的匀强磁场区域．求：
（1）两金属板间的电压U₂的大小；
（2）若该匀强磁场的宽度为D，为使带电粒子不会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度B至少多大；
（3）试推导说明电性相同的不同带电粒子由同一加速电场静止加速再垂直进入同一偏转电场偏转时的运动轨迹相同．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求得粒子离开加速电场时的速度，再对粒子在偏转电场中的类平抛运动分水平、竖直讨论其速度、位移，进而求解；
（2）由粒子进入磁场的速度方向得到速度大小及半径与边界宽度的关系，再通过牛顿第二定律得到半径的表达式，进而联立求解磁感应强度；
（3）分析带电粒子在偏转电场中的类平抛运动轨迹，得到轨迹方程即可．

解答 解：（1）带电粒子在加速电场中只受电场力，设带电粒子离开加速电场时的速度v₁；则由动能定理可得：${qU}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$；
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}$；
带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，则在水平方向上有：L=v₁t；
在竖直方向上有：${v}_{y}={v}_{1}tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{1}=\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{3m}}$
且有：${v}_{y}=at=\frac{q{U}_{2}}{md}t=\frac{q{U}_{2}L}{md{v}_{1}}$；
解得：${U}_{2}=\frac{m{v}_{1}{v}_{y}d}{qL}=\frac{m×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{2q{U}_{1}}{m}×d}{qL}$=$\frac{2\sqrt{3}{U}_{1}d}{3L}$；
（2）粒子进入磁场中的速度为：${v}_{2}=\frac{{v}_{1}}{cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{1}=\sqrt{\frac{8q{U}_{1}}{3m}}$；
那么粒子在磁场中运动，洛伦兹力做向心力，则有：$B{v}_{2}q=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{R}$
解得：$B=\frac{m{v}_{2}}{qR}$；
由左手定则可知，粒子刚进入磁场时向上偏转，那么，为使带电粒子不会由磁场右边射出，则有：
$D≥Rsin30°+R=\frac{3}{2}R$；
解得：$B=\frac{m{v}_{2}}{qR}≥\frac{m{v}_{2}}{q•\frac{2}{3}D}=\frac{1}{D}\sqrt{\frac{6m{U}_{1}}{q}}$
即该匀强磁场的磁感应强度B至少为$\frac{1}{D}\sqrt{\frac{6m{U}_{1}}{q}}$；
（3）由（1）可得粒子经过加速电场，进入偏转电场时的速度为：
${v}_{1}=\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}$；
那么粒子在偏转电场中，任一时刻t的水平位移为：x=v₁t
竖直位移为：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{q{U}_{2}}{md}×{t}^{2}$=$\frac{q{U}_{2}}{2md{{v}_{1}}^{2}}{x}^{2}$=$\frac{{U}_{2}}{4d{U}_{1}}{x}^{2}$；
由上式可知，粒子的轨迹方程与粒子的比荷无关，即不同粒子的轨迹方程相同．
答：（1）两金属板间的电压U₂的大小为$\frac{2\sqrt{3}{U}_{1}d}{3L}$；
（2）若该匀强磁场的宽度为D，为使带电粒子不会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度B至少为$\frac{1}{D}\sqrt{\frac{6m{U}_{1}}{q}}$．
（3）推导如上

点评 带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，一般，若未给出离开电场时的速度方向，我们要先讨论出射位置（是否打在极板上，是否刚好从极板边界射出），然后，再求取速度大小及方向．