Question

10．如图所示，虚线所围矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场（矩形边线上无磁场）．现从ad边的中点O处，某一粒子以大小为v的速度垂直于磁场射入、方向与ad边夹角为45°时，其轨迹恰好与ab边相切．若撤去磁场，在此矩形区域内加竖直向上的匀强电场，使该粒子仍以大小为v的速度在O处垂直于电场方向射入，恰好从b点穿出．粒子重力不计，ad边长为l，ab边长为2l，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 匀强磁场的磁感应强度大小与匀强电场的电场强度大小之比为$\frac{4（2+\sqrt{2}）}{v}$
• B． 匀强磁场的磁感应强度大小与匀强电场的电场强度大小之比为$\frac{4（2-\sqrt{2}）}{v}$
• C． 粒子穿过磁场和电场的时间之比为$\frac{5（2+\sqrt{2}）π}{16}$
• D． 粒子穿过磁场和电场的时间之比为$\frac{5（2-\sqrt{2}）π}{16}$

Answer 1

分析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，利用洛伦兹力提供向心力几何关系即可求出磁感应强度B的大小，利用周期公式结合粒子转过的圆心角求解粒子在磁场中运动的时间；
粒子在电场中做类平抛运动，利用运动的合成和分解，结合牛顿第二定律以及运动学公式，即可求出电场强度E以及粒子在电场中运动的时间．

解答 解：矩形区域内为磁场时，粒子做匀速圆周运动，根据题意画出粒子轨迹过程图如图一所示，

根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ 
根据几何关系可得：r（1+sin45°）=$\frac{l}{2}$ 
可得：B=$\frac{（2+\sqrt{2}）mv}{ql}$①
根据周期公式：T=$\frac{2πr}{v}$
因为矩形边线上无磁场所以粒子转过的圆心角：θ=225°
粒子在磁场中运动的时间：t₁=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{225°}{360°}$T=$\frac{5（2-\sqrt{2}）πl}{8v}$②
矩形区域内为电场时，粒子做类平抛运动，根据题意画出粒子轨迹过程图如图二所示，

建立如图所示坐标系，利用运动的合成和分解可得：
x方向：2l=vt₂
y方向：$\frac{l}{2}$=$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$
根据牛顿第二定律可得：Eq=ma
可得：E=$\frac{m{v}^{2}}{4ql}$③
t₂=$\frac{2l}{v}$④
将①③式做比可得：$\frac{B}{E}$=$\frac{4（2+\sqrt{2}）}{v}$，故A正确，B错误；
由②④式做比可得：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}$=$\frac{5（2-\sqrt{2}）π}{16}$，故D正确，C错误：
故选：AD

点评 本题考查带电粒子在有界磁场中的运动以及粒子在电场中的类平抛运动，解题关键是要画出粒子轨迹过程图，根据运动的形式选择合适的规律解决；磁场中粒子做匀速圆周运动，利用洛伦兹力提供向心力结合几何关系分析求解磁感应强度B，运用周期公式结合粒子转过的圆心角求解粒子在磁场中运动的时间；电场中的类平抛运用运动的合成和分解，结合牛顿第二定律以及运动学规律解决．