Question

14．如图甲所示，在劲度系数为k的轻弹簧下挂一个质量为m的物体，将物体从弹簧原长处无初速释放；图乙所示的物体和弹簧与图甲中完全相同，用手托着物体从弹簧原长处缓缓下落，直至手离开物体后，物体处于静止．（不考虑空气阻力）
（1）简要说明图甲中的物体被释放后做什么运动；
（2）做出图乙中手对物体的支持力F随物体下降位移x变化的示意图，借助F-x图象求支持力F做的功的大小；
（3）利用弹力做功只和始末位置有关的特点，求图甲中物体运动的最大速度．

Answer 1

分析 （1）物体被释放后做简谐运动．
（2）物体运动过程中，受到重力、手的支持力和弹簧的弹力，物体缓慢下降时，受力平衡，根据平衡条件和胡克定律求出F与x的关系式，再作出F-x图象，根据图象与坐标轴所围的面积求拉力做的功．
（3）当弹簧的弹力与重力平衡时，物体的速度最大，由此可得到弹簧的伸长量，再由动能定理求解最大速度．

解答 解：（1）图甲所示物体被释放后做简谐运动．
（2）图乙中物体受重力mg、弹簧弹力f和支持力F，因为缓缓下落时，物体受力平衡
所以对任意位置满足  F=mg-kx ①
当下降位移x=0时，支持力F=mg；
当mg=kx，即下降位移$x=\frac{mg}{k}$时，支持力 F=0．
F-x图象如答图所示，图线下所围的面积等于支持力F做的功：$W=\frac{1}{2}mg\frac{mg}{k}=\frac{1}{2}\frac{{{m^2}{g^2}}}{k}$ ②
（3）图甲所示物体运动过程中只受到重力和弹簧弹力，
在受力满足mg=kx，即下降位移$x=\frac{mg}{k}$时，有最大速度v
对物体从释放到有最大速度的过程应用动能定理，有$mgx-{W_弹}=\frac{1}{2}m{v^2}$ ③
因为图甲与图乙所示弹簧完全相同且弹簧弹力做的功只与始末位置有关，因此上式中的W_弹与图乙所示过程中弹簧弹力做的功相等．
对图乙所示过程应用动能定理mgx-W_弹-W=0 ④
得到 W_弹=$\frac{1}{2}\frac{{{m^2}{g^2}}}{k}$
代入③式，解得：图甲中物体运动的最大速度：$v=g\sqrt{\frac{m}{k}}$．
答：
（1）图甲中的物体被释放后做简谐运动；
（2）支持力F做的功的大小为$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$；
（3）图甲中物体运动的最大速度为g$\sqrt{\frac{m}{k}}$．

点评 本题是简谐运动的模型，关键要理解平衡位置的受力特点，知道拉力是支持力时，作出F-x图象，图象的面积表示功．