Question

11．如图甲所示，竖直放置的金属板A、B中间开有小孔，小孔的连线沿水平放置的金属板C、D的中轴线．粒子源P可以连续地产生质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子以极小的初速度飘人A、B板间，其初速度可忽略不计．粒子在A、B板间被加速后，再进人C、D板间偏转，均能从此电场中射出，粒子射出偏转电场时速度方向的反向延长线通过O点．已知A、B间的电压U_AB=U₀；C、D板的长度均为L，间距为$\frac{\sqrt{3}}{3}$L．C、D之间的电压u_CD随时间t变化的图象如图乙所示．在C、D右侧有一个垂直纸面向里的匀强磁场，分布在图示的半环形带中，该环形带的内、外圆心与金属板C、D间的中心O点重合．内圆半径为学$\frac{2\sqrt{3}}{3}$L，磁感应强度的大小为$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{24m{U}_{0}}{q}}$．已知偏转电场只存在于C、D两板之间，粒子在偏转电场中运动的时间远小于电场变化的周期（电场变化的周期丁未知），粒子重力不计．

（1）试求粒子离开偏转电场时，在垂直于板面方向偏移的最大距离；
（2）若所有粒子均不能从环形带磁场的右侧穿出，试求环形带磁场的最小宽度．

Answer 1

分析 （1）对粒子加速过程由动能定理求得进入偏转电场的速度．要在垂直于板面方向偏移的距离最大，那么粒子的加速度也要最大，即所加的电压最大．根据类平抛运动的规律求解．
（2）进入偏转电场的粒子刚好不能穿出磁场时的环带宽度为磁场的最小宽度，根据动能定理求出粒子进入磁场时的速度，画出粒子刚好不能穿出磁场的轨迹图，根据半径公式结合几何关系求解．

解答 解：（1）设粒子进入偏转电场瞬间的速度为v，
对粒子加速过程由动能定理得qU_AB=$\frac{1}{2}$m${v}_{\;}^{2}$
进入偏转电场后，加速度a=$\frac{{qU}_{cd}}{md}$
设运动时间为t，则有L=v₀t
只有t=$\frac{T}{2}$时刻进入偏转电场的粒子，垂直于极板方向偏移的距离最大
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{{qU}_{cd}}{md}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$L
（2）t=$\frac{T}{2}$时刻进入偏转电场的粒子刚好不能穿出磁场时的环带宽度为磁场的最小宽度．
设粒子进入磁场时的速度为v′，
对粒子的偏转过程有 $\frac{1}{3}qU$=$\frac{1}{2}{mv′}^{2}$-$\frac{1}{2}{mv}^{2}$
解得：v′=$\sqrt{\frac{8{qU}_{0}}{3m}}$
在磁场中做圆周运动的半径为R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{L}{3}$
如图所示，设环带外圆半径为R₂，
（R₂-R₁）²=${R}_{1}^{2}$+R²
解得：R₂=L
所求d=R₂-R₁=（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）L
答：（1）粒子离开偏转电场时，在垂直于板面方向偏移的最大距离是$\frac{\sqrt{3}}{6}$L；
（2）环形带磁场的最小宽度是（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）L．

点评 本题主要考查了带电粒子分别在电场和磁场中的运动情况，当两极间加上电压时，粒子做类平抛运动，根据类平抛运动规律求解问题．粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．