Question

17．如图所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=5Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B₀=1T．将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均不计．现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，当金属棒滑行至cd处时已经达到稳定速度，cd距离NQ为s=2m．试解答以下问题：（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）当金属棒滑行至cd处时回路中的电流多大？
（2）当金属棒滑行至cd处时回路中产生的焦耳热是多少？
（3）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）？

Answer 1

分析 （1）对金属棒进行受力分析，达到稳定速度时，即为做匀速运动，根据平衡条件列出等式求解电流．
（2）由法拉第电磁感应定律、欧姆定律求出金属棒稳定时的速度．重力势能减小转化为动能、摩擦产生的内能和回路中产生的焦耳热．再根据能量守恒求解焦耳热．
（3）要使金属棒中不产生感应电流，则穿过线框的磁通量不变．同时棒受到重力、支持力与滑动摩擦力做匀加速直线运动．从而可求出磁感应强度B应怎样随时间t变化的．

解答 解：（1）金属棒达到稳定速度时做匀速直线运动，则有 mgsinθ=F_A+μmgcosθ
又安培力 F_A=B₀IL
联立得 $I=\frac{{mg（{sin{{37}°}-μcos{{37}°}}）}}{{{B_0}L}}=\frac{{0.05×10×（{0.6-0.5×0.8}）}}{1×0.5}=0.2A$
（2）稳定时金属棒产生的感应电动势 E=B₀Lv
感应电流 $I=\frac{E}{R}$
联立得稳定时金属棒的速度：$v=\frac{IR}{{{B_0}L}}=\frac{0.2×5}{1×0.5}m/s=2m/s$
根据能量守恒得：
  E=mgsin37°s-μmgcos37°s-$\frac{1}{2}$mv²=0.1J
（3）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流．此时金属棒将沿导轨做匀加速运动．
根据牛顿第二定律得 mgsinθ-μmgcosθ=ma
则 a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）m/s²=2m/s²；
由题意得 ${B_0}Ls=BL（{s+vt+\frac{1}{2}a{t^2}}）$
则B=$\frac{{{B_0}s}}{{s+vt+\frac{1}{2}a{t^2}}}=\frac{2}{{{t^2}+2t+2}}$T     
答：
（1）当金属棒滑行至cd处时回路中的电流是0.2A．
（2）当金属棒滑行至cd处时回路中产生的焦耳热是0.1J．
（3）B与t的关系式为B=$\frac{2}{{t}^{2}+2t+2}$T．

点评 本题考查了牛顿运动定律、闭合电路殴姆定律，安培力公式、感应电动势公式，还有能量守恒．同时当金属棒速度达到稳定时，则一定是处于平衡状态，原因是安培力受到速度约束的．还巧妙用磁通量的变化去求出面积从而算出棒的距离．最后线框的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流是解题的突破点．