题目内容
【题目】如图所示为某种弹射装置的示意图,该装置由三部分组成,传送带左边是足够长的光滑水平面,一轻质弹簧左端固定,右端连接着质量M=6.0kg的物块A。装置的中间是水平传送带,它与左右两边的台面等高,并能平滑对接。传送带的皮带轮逆时针匀速转动,使传送带上表面以u=2.0m/s匀速运动。传送带的右边是一半径R=1.25m位于竖直平面内的光滑1/4圆弧轨道。质量m=2.0kg的物块B从1/4圆弧的最高处由静止释放。已知物块B与传送带之间的动摩擦因数μ=0.1,传送带两轴之间的距离l=4.5m。设物块A、B之间发生的是正对弹性碰撞,第一次碰撞前,物块A静止。取g=10m/s2。求:
(1)物块B滑到1/4圆弧的最低点C时对轨道的压力;
(2)物块B与物块A第一次碰撞后弹簧的最大弹性势能;
(3)如果物块A、B每次碰撞后,物块A再回到平衡位置时弹簧都会被立即锁定,而当它们再次碰撞前锁定被解除,求物块B经第一次与物块A碰撞后在传送带上运动的总时间。
【答案】(1)F1=60N,方向竖直向下(2)12J(3)8s
【解析】(1)设物块B沿光滑曲面下滑到水平位置时的速度大小为v0.由机械能守恒知
mgR=mv02得=5 m/s
设物块B滑到1/4圆弧的最低点C时受到的支持力大小为F,
由牛顿第二定律得:
解得:F=60N
由牛顿第三定律得:物块B滑到1/4圆弧的最低点C时受到的支持力大小为F1=60N,
方向竖直向下。
(2)设物块B在传送带上滑动过程中因受摩擦力所产生的加速度大小为a,则
μmg=ma
设物块B通过传送带后运动速度大小为v,有v2-v02=-2al
联立解得v=4 m/s
由于v>u=2 m/s,所以v=4m/s即为物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小。
设物块A、B第一次碰撞后的速度分别为v2、v1,取向左为正方向,
由动量守恒定律和能量守恒定律得
mv=mv1+Mv2
mv2=mv12+Mv22 ((动量守恒、能量守恒)
解得v1==-2m/s,v2=2m/s
弹簧具有的最大弹性势能等于物块M的初动能
EP=Mv22=12J
(3)碰撞后物块B沿水平台面向右匀速运动。
设物块B在传送带上向右运动的最大位移为l′,
由动能定理得:-μmgl′=0-mv12
得l′=2m<4.5m
所以物块B不能通过传送带运动到右边的曲面上.当物块B在传送带上向右运动的速度为零后,将会沿传送带向左加速运动.可以判断,物块B运动到左边台面时的速度大小为
v1′=2m/s,继而与物块A发生第二次碰撞.设第1次碰撞到第2次碰撞之间,物块B在传送带运动的时间为t1。
由动量定理得:μmgt1=2mv1′
解得
设物块A、B第一次碰撞后的速度分别为v4、v3,取向左为正方向,由动量守恒定律和能量守恒定律得
mv1′=mv3+Mv4
mv1′2=mv32+Mv42
解得v3==-1m/s
当物块B在传送带上向右运动的速度为零后,将会沿传送带向左加速运动.可以判断,物块B运动到左边台面时的速度大小为v3′=1m/s,继而与物块发生第2次碰撞.则第2次碰撞到第3次碰撞之间,物块B在传送带运动的时间为t2。
由动量定理得:μmgt2=2m v3
解得
同上计算可知
物块B与物块A第三次碰撞、第四次碰撞……第n次碰撞后物块B在传送带运动的时间为tn=s, 构成无穷等比数列,公比q=
由无穷等比数列求和公式可知,当n→∞时,有
物块B经第一次与物块A碰撞后在传送带运动的总时间为
t总==8s