Question

14．如图所示，在平面直角坐标系xOy内，第一象限中某一矩形区域（图中未画出）内存在着垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B；第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从x轴负半轴x=-$\sqrt{3}$L处的M点以初速度v₀垂直于x轴射入电场，经y轴上y=2L处的P点进入磁场，最后以垂直于x轴的方向从N点（图中未画出）射出磁场，不计粒子重力，求：
（l）电场强度E的大小．
（2）矩形磁场的最小面积S．
（3）粒子从进入电场到离开磁场所经历的总时间t．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类似平抛运动，根据分位移公式列式求解；
（2）根据类似平抛运动的分运动规律求解P点的速度大小和方向，进入磁场后做匀速圆周运动，垂直x轴射出磁场区，画出运动轨迹，得到矩形磁场的最小面积S；
（3）在电场中运动根据分运动公式求解时间，在磁场中运动根据t=$\frac{θ}{2π}T$求解时间．

解答 解：（1）粒子在电场中做类似平抛运动，平行x方向是匀速直线运动，故：$\sqrt{3}L={v}_{0}{t}_{1}$，
平行y轴方向的分运动是匀加速直线运动，故：$2L=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t}_{1}^{2}$，
联立解得：E=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3qL}$；
（2）类平抛运动的速度偏向角的正切值是位移偏向角的正切值的2倍，故：
tanα=2tanβ=2•$\frac{x}{y}$=$\sqrt{3}$，故α=60°；
$\frac{{v}_{0}}{v}=cos60°$，故v=2v₀；
粒子从P点进入磁场，做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}=\frac{2m{v}_{0}}{qB}$；
垂直x轴射出，轨迹如图所示，圆弧的圆心角为120°：

故矩形区域的最小面积为：S=r•（r+rsin30°）=$\frac{3}{2}{r}^{2}$=$\frac{6{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
（3）粒子在电场中运动时间为：t₁=$\frac{\sqrt{3}L}{{v}_{0}}$；
粒子在磁场中运动时间为：t₂=$\frac{S}{v}=\frac{\frac{2πr}{3}}{v}=\frac{2πm}{3qB}$；
故从进入电场到离开磁场所经历的总时间t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{3}L}{{v}_{0}}$+$\frac{2πm}{3qB}$；
答：（l）电场强度E的大小为$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3qL}$．
（2）矩形磁场的最小面积S为$\frac{6{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$．
（3）粒子从进入电场到离开磁场所经历的总时间t为$\frac{\sqrt{3}L}{{v}_{0}}$+$\frac{2πm}{3qB}$．

点评 本题关键是明确粒子先做类似平抛运动，在做匀速圆周运动，最后离开磁场后做匀速直线运动，要画出运动轨迹，结合几何关系列式分析．
带电粒子在匀强磁场中的运动：
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动．
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式：（v⊥B），R=$\frac{mv}{qB}$，T=$\frac{2πm}{qB}$．