Question

水平固定的两根足够长的平行光滑杆MN、PQ，两者之间的间距为L，两光滑杆上分别穿有一个质量分别为M_A=0.1kg和M_B=0.2kg的小球A、B，两小球之间用一根自然长度也为L的轻质橡皮绳相连接，开始时两小球处于静止状态，轻质橡皮绳处于自然伸长状态，如图（a）所示。现给小球A一沿杆向右的水平瞬时冲量I，以向右为速度正方向，得到A球的速度—时间图象如图(b)所示。（以小球A获得瞬时冲量开始计时，以后的运动中橡皮绳的伸长均不超过其弹性限度。）

（1）求瞬时冲量I的大小；

（2）在图(b)中大致画出B球的速度—时间图象；(不写分析过程直接画图)

（3）若在A球的左侧较远处还有另一质量为M_C=0.1kg小球C，某一时刻给C球4m/s的速度向右匀速运动，它将遇到小球A，并与之结合在一起运动，试定量分析在各种可能的情况下橡皮绳的最大弹性势能。   

   

Answer 1

（1）0.6Nm（2）4m/s         （3）橡皮绳具有的最大弹性势能E_PM的可能值在0.45J—1.35J的范围内。

解析:

（1）由图像得V_A=6m/s，

又I=M_AV_A—0=0.6Nm 

  （2）B的速度—时间图象如图 

        M_AV_A =（M_A+ M_B）V₁  V₁=2m/s

M_AV_A = M_AV_A^’+ M_BV₂   解得V₂ =4m/s  

 

（3）因A、B、C三小球水平方向系统不受外力，故动量守恒。

由此可得：不论A、C两球何时何处相互作用，三球相互作用的过程中三球具有的共同速度是一个定值，即三球速度相同时的总动能是一定值。

M_AV_A+ M_CV_C=（M_A+ M_B+ M_C）V_共   解得V_共 =2.5m/s          

当三球速度相同时橡皮绳子弹性势能最大，所以当A球在运动过程中速度减为4m/s与C球同向时，C球与之相碰时系统损失能量最小（为0），此情况下三球在运动过程中橡皮绳具有的最大弹性势能为E_PM1

E_PM1= M_AV_A²+M_CV_C²—（M_A+ M_B+ M_C）V_共²=1.35J   

当A球在运动过程中速度为2m/s与C球反向时，C球与之相碰时系统损失能量最大，此情况下三球运动的过程中橡皮绳具有的最大弹性势能为E_PM2

M_CV_C —M_AV_A =（M_A + M_C）V₃    解得V₃ =1m/s

E_PM2= （M_A+ M_C）V₃²+M_BV₂²—（M_A+ M_B+ M_C）V_共²=0.45J

由上可得：橡皮绳具有的最大弹性势能E_PM的可能值在0.45J—1.35J的范围内。