题目内容
4．
如图光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B，相距0.1m，长1m的柔软细绳拴在A上，另一端系一质量为0.5kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉紧，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动，由于钉子B的存在，使线慢慢地缠在A、B上．（1）如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间？
（2）如果细线的抗断拉力为7N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间？
分析 根据向心力的来源求出每经过半个周期拉力的大小的表达式，以及每半个周期时间的表达式，结合数学知识分析求解总时间
解答 解：在小球做匀速圆周运动的过程中，由于细绳不断缠在A、B上，其轨道半径逐渐减小．
小球受到的绳子的拉力提供向心力，即F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，且F随R的减小而增大，而运动的半个周期 t=$\frac{πr}{v}$随绳长的减小而减小．推算出每个半周期的时间及周期数，就可求出总时间．根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳拉断所经历的时间．
设AB间距离为d．
在第一个半周期内：F1=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}}$，t1=$\frac{π{L}_{0}}{v}$
在第二个半周期内：F2=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-d}$，t2=$\frac{π（{L}_{0}-d）}{v}$
在第三个半周期内：F3=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-2d}$，t3=$\frac{π（{L}_{0}-2d）}{v}$
…
依此类推，在第n个半周期内：Fn=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-（n-1）d}$，t3=$\frac{π[{L}_{0}-（n-1）d]}{v}$
由于$\frac{{L}_{0}}{d}=\frac{1}{0.1}=10$，所以n≤10
（1）小球从开始运动到细线完全缠到A、B上的时间 t=t1+t2+…+t10=$\frac{π[10{L}_{0}-（d+2d+3d+4d+…+9d）]}{v}$=$\frac{11π}{4}$s．
（2）设在第x个半周期时，Fx=7N．由Fx=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-（x-1）d}$
代入数据得 7=0.5×$\frac{{2}^{2}}{1-（x-1）×0.1}$
解得 x=8.1，取x=8．
代入第1题表达式得：t=t1+t2+t3+…+t8=$\frac{π[8{L}_{0}-d-2d-…+7d]}{v}$=2.6πs
答：（1）如果细线不会断裂，从小球开始运动到完全缠在AB上所需要的时间是$\frac{11}{4}$πs．
（2）如果细线的抗断力为9N，从开始运动到线断裂需2.6πs时间．
点评 本题是物理数列类型，结合圆周运动向心力的来源，通过数学知识求出拉力和时间的通项表达式是解决本题的关键．
如图所示，半径为r，内径很小的光滑圆管竖直放置，质量均为m的小球以不同速率进入管内，通过最高点C时，对管壁的作用力有哪些可能情况？请定量讨论．| A． | 1：2 | B． | 1：1 | C． | 1：16 | D． | 16：1 |
如图所示，将小球从斜面顶端A以速度v0=10m/s水平抛出，小球恰好落入斜面底端C处的接收盒中．已知斜面的直角边lAB：lBC=1：2，重力加速度大小g=10m/s2．
| A． | 物体受到4个力的作用 | |
| B． | 物体除了受到重力、弹力、摩擦力还受到向心力 | |
| C． | 物体的向心力是弹力提供的 | |
| D． | 物体的向心力是摩擦力提供的 |
| A． | 经平衡位置时加速度为零，速度最大 | |
| B． | 经过平衡位置时加速度方向改变，速度方向不一定改变 | |
| C． | 振幅就是最大位移 | |
| D． | 加速度的方向总跟回复力方向相同 |
请一位同学用两个手指捏住直尺的顶端x1=0处，如图所示，你用一只手在直尺下方做捏住直尺的准备，但手不能碰到直尺，记下这时手指在直尺上的位置x1=20.00cm．当你看到那位同学放开直尺时，你立即捏住直尺，手指捏在直尺上的位置x2=7.50cm．由此可估算出你的反应时间最接近的是（ ）| A． | 0.20s | B． | 0.18s | C． | 0.16s | D． | 0.12s |
| A． | 做匀速圆周运动的物体，所受合力一定指向圆心 | |
| B． | 做匀速圆周运动的物体，其速度不变 | |
| C． | 做匀速圆周运动的物体，其加速度不变 | |
| D． | 匀速圆周运动是匀变速曲线运动 |