Question

15．半径为R的光滑细圆环轨道被固定在竖直平面内．内有质量为2m和m的两个小球以相同的角速度经过图示位置．小球直径远小于轨道半径．下列说法正确的是（　　）

• A． ω＜$\sqrt{\frac{g}{R}}$则在图示位置两小球对轨道的作用力方向一定竖直向下
• B． ω=$\sqrt{\frac{g}{R}}$ 则在图示位置两小球对轨道的作用力为零
• C． ω＞$\sqrt{\frac{g}{R}}$ 则在图示位置两小球对轨道的作用力方向一定竖直向上
• D． ω=$\sqrt{\frac{3g}{R}}$ 则在图示位置两小球对轨道的作用力为零

Answer 1

分析 在最高点和最低点根据牛顿第二定律求得对轨道的作用力，根据受力分析求得轨道受到的合力即可判断

解答 解：在最高点，对小球受力分析，档对轨道无作用力时，根据牛顿第二定律可知2mg=2mω²R，解得$ω=\sqrt{\frac{g}{R}}$，当$ω＜\sqrt{\frac{g}{R}}$时，轨道对物体有向上的支持力，物体对轨道有向下的压力，当$ω＞\sqrt{gR}$时，物体对轨道有向上的压力
在最低点，根据${F}_{N}-mg=m{ω}^{2}r$可知，轨道对物体的支持力一定向上，故物体对轨道有向下的压力
A、当ω＜$\sqrt{\frac{g}{R}}$时，对2m可知$2mg-{F}_{N1}=2m{ω}^{2}R$，解得${F}_{N1}=2mg-2m{ω}^{2}R$；对m可知${F}_{{N}_{2}}-mg=m{ω}^{2}R$，解得${F}_{N2}=mg+m{ω}^{2}R$，故对轨道的作用力为$F={F}_{N1}+{F}_{N2}=3mg-m{ω}^{2}R＞2mg$，方向向下，故A正确；
B、当ω=$\sqrt{\frac{g}{R}}$，是2m的物体对轨道无作用力，m的物体对轨道有向下的作用力，故合力向下，故BC偶无；
C、当ω＞$\sqrt{\frac{g}{R}}$ 时，对2m可知${F}_{N1}+2mg=2m{ω}^{2}R$，解得${F}_{N1}=m{ω}^{2}R-2mg$，对m可知${F}_{{N}_{2}}-mg=m{ω}^{2}R$，解得${F}_{N2}=mg+m{ω}^{2}R$，故对轨道的作用力$F={F}_{N2}-{F}_{N1}=3mg-m{ω}^{2}R$，解得当ω=$\sqrt{\frac{3g}{R}}$ 则在图示位置两小球对轨道的作用力为零，故C错误，D正确
故选：AD

点评 本题考查牛顿第二定律的应用，要明确两球的角速度大小相等，要知道小球通过最高点和最低点时由合力提供向心力