Question

4．如图所示，完全相同的正方形单匝铜质线框abcd，通过水平绝缘且足够长的传送带输送一系列该货件通过某一固定匀强磁场区域进行“安检”程序，即便筛选“次品”（不闭合）与“正品”（闭合），“安检”程序简化为如下物理模型，各货件质量均为m，电阻均为R，边长为l，与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g；传送带以恒定速度v₀向右运动，货件在进入磁场前与传送带的速度相同，货件运行中始终保持ab∥AA'∥CC'，已知磁场边界AA'，CC'与传送带运动方向垂直，磁场的磁感应强度为B，磁场的宽度为d（l＜d），现某一货件当其ab边到达CC'时又恰好与传送带的速度相同，则

（1）上述货件在进入磁场的过程中运动加速度的最大值与速度的最小值；
（2）“次品”（不闭合）与“正品”（闭合）因“安检”而延迟时间多大．

Answer 1

分析 （1）对货件进入磁场的过程进行受力分析，根据进入时、离开时的速度相同，分析物件的运动状态，得到加速度的最大值和速度的最小值时刻；然后对该时刻进行受力分析得到加速度的值；对速度最小时刻到货件将出磁场的过程运用动能定理即可得到最小速度；
（2）“次品”一直匀速运动，分析”正品“的运动状态可得到延迟的运动段，再按运动情况进行分段求解即可得延迟时间．

解答 解：（1）线框以速度v₀进入磁场，在进入磁场过程中，受安培力F（方向向左）、摩擦力f（方向向右）共同作用而做减速运动；完全进入磁场后，在摩擦力（方向向右）的作用下做加速运动，当ab边到达CC'时速度又恰好等于v₀．因此，线框在刚进入磁场时，速度最大，所受安培力F最大，加速度最大，设为a_m；线框全部进入磁场的瞬间速度最小，设此时线框的速度为v．
线框刚进入磁场时，线框的电动势为?，线框中的电流为i₀．
由牛顿第二定律有：F-μmg=ma_m，
$\left\{\begin{array}{l}F=B{i_0}l\\{i_0}=\frac{ε}{R}\\ ε=Bl{v_0}\end{array}\right.$
解得：${a}_{m}=\frac{F}{m}-μg=\frac{B{i}_{0}l}{m}-ug=\frac{B?l}{mR}-μg$=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{mR}-μg$．
在线框完全进入磁场又加速运动到达边界CC'的过程中，线框只受摩擦力，根据动能定理，有：$μmg（d-l）=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}m{v^2}$，
解得$v=\sqrt{v_0^2-2μg（d-l）}$．
（2）“次品”（不闭合）在经过磁场的过程中不能产生电流，所以安培力为零，所以，摩擦力也为零，线框进行匀速运动．
由（1）可知，线框ab边到达CC'后将重复线框进入磁场的运动，若线框ab边从AA'到达CC'，“次品”（不闭合）比“正品”（闭合）快△T₁，则“次品”（不闭合）与“正品”（闭合）因“安检”而延迟时间△T=2△T₁．
设“正品”货件进入磁场所用时间为t₁，
取此过程中某较短时间间隔△t，在t～（t+△t）的△t内货件速度变化为△v，电流为i，
则由动量定理可得：（μmg-Bil）△t=m△v
即$（μmg-\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R}）△t=m△v$．
对上式在t₁时间内进行叠加，可得：$μmg{t}_{1}-\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{R}l=mv-m{v}_{0}$
所以，${t}_{1}=\frac{mv-m{v}_{0}+\frac{{B}^{2}{l}^{3}}{R}}{μmg}$=$\frac{{{B^2}{l^3}}}{μmgR}-\frac{{{v_0}-\sqrt{v_0^2-2μg（d-l）}}}{μg}$．
设“正品”货件在磁场中匀加速恢复v₀所用时间为t₂，
由匀变速速度公式，有：${t_2}=\frac{{{v_0}-v}}{μg}=\frac{{{v_0}-\sqrt{v_0^2-2μg（d-l）}}}{μg}$，
而“次品”货件运动过程不受“安检”的影响，设线框ab边从AA'到达CC'所用时间为T₁，由匀速运动规律有：${T}_{1}=\frac{d}{{v}_{0}}$．
可见因“安检”而延迟时间为：△T=2（t₁+t₂-T₁）=$2（\frac{{B}^{2}{l}^{3}}{μmgR}-\frac{d}{{v}_{0}}）$．
答：（1）货件在进入磁场的过程中运动加速度的最大值${a_m}=\frac{{{B^2}{l^2}{v_0}}}{mR}-μg$，速度的最小值$v=\sqrt{v_0^2-2μg（d-l）}$；
（2）“次品”（不闭合）与“正品”（闭合）因“安检”而延迟时间$△T=\frac{{2{B^2}{l^3}}}{μmgR}-\frac{2d}{v_0}$．

点评 对时间、发热量、做功这类过程量，我们一定要先分析、了解整个运动过程的基本状态再求解；要注意区分各阶段的情况，进行分段讨论，如我们求位移时，一定要注意各阶段的运动状态是否能统一表示，如要注意是否一直运动等．